Раздел III. Производная и дифференциал — § 13. Производная. Формулы и правила вычисления производных. Дифференциал функции

Кудрявцев — задача 13.94

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 13.94

Вычислить производную функции y=12ln⁡(1+x2)−14ln⁡(1+x4)−12(1+x2)\displaystyle y = \dfrac{1}{2} \ln (1 + x^2) - \dfrac{1}{4} \ln (1 + x^4) - \dfrac{1}{2(1 + x^2)}.
Ответ:y′=2x(1+x2)2(1+x4)y' = \dfrac{2x}{(1+x^2)^2(1+x^4)}

Решение

Дифференцируем почленно:(12ln⁡(1+x2))′=12⋅2x1+x2=x1+x2,\left(\dfrac{1}{2} \ln(1+x^2)\right)' = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2x}{1+x^2} = \dfrac{x}{1+x^2},(−14ln⁡(1+x4))′=−14⋅4x31+x4=−x31+x4,\left(-\dfrac{1}{4} \ln(1+x^4)\right)' = -\dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{4x^3}{1+x^4} = -\dfrac{x^3}{1+x^4},(−12(1+x2))′=−12⋅(−1)(1+x2)−2⋅2x=x(1+x2)2.\left(-\dfrac{1}{2(1+x^2)}\right)' = -\dfrac{1}{2} \cdot (-1)(1+x^2)^{-2} \cdot 2x = \dfrac{x}{(1+x^2)^2}.Складываем:y′=x1+x2−x31+x4+x(1+x2)2.y' = \dfrac{x}{1+x^2} - \dfrac{x^3}{1+x^4} + \dfrac{x}{(1+x^2)^2}.Приводим к общему знаменателю (1+x2)2(1+x4)(1+x^2)^2(1+x^4):y′=x(1+x2)(1+x4)−x3(1+x2)2+x(1+x4)(1+x2)2(1+x4).y' = \dfrac{x(1+x^2)(1+x^4) - x^3(1+x^2)^2 + x(1+x^4)}{(1+x^2)^2(1+x^4)}.Раскроем числитель:x(1+x2)(1+x4)=x(1+x4+x2+x6)=x+x5+x3+x7,−x3(1+x2)2=−x3(1+2x2+x4)=−x3−2x5−x7,x(1+x4)=x+x5.\begin{aligned}
x(1+x^2)(1+x^4) &= x(1 + x^4 + x^2 + x^6) = x + x^5 + x^3 + x^7,\\
- x^3(1+x^2)^2 &= -x^3(1 + 2x^2 + x^4) = -x^3 - 2x^5 - x^7,\\
x(1+x^4) &= x + x^5.
\end{aligned}Суммируем:(x+x5+x3+x7)+(−x3−2x5−x7)+(x+x5)=2x.(x + x^5 + x^3 + x^7) + (-x^3 - 2x^5 - x^7) + (x + x^5) = 2x.(Все степени x3,x5,x7x^3, x^5, x^7 взаимно уничтожились.)

Проверка

Таким образом,y′=2x(1+x2)2(1+x4).y' = \dfrac{2x}{(1+x^2)^2(1+x^4)}.
Кудрявцев № 13.94 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика