Раздел III. Производная и дифференциал — § 13. Производная. Формулы и правила вычисления производных. Дифференциал функции

Кудрявцев — задача 13.68

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Вычислить производную функции

y = \operatorname{ctg} x^2 - \dfrac{1}{3} \operatorname{tg}^3 2x

Ответ:

y' = -\dfrac{2x}{\sin^2 x^2} - \dfrac{2\operatorname{tg}^2 2x}{\cos^2 2x}

Решение

Используем производные тангенса и котангенса.

y' = -\dfrac{1}{\sin^2 x^2} \cdot (x^2)' - \dfrac{1}{3} \cdot 3\operatorname{tg}^2 2x \cdot (\operatorname{tg} 2x)'.

(x^2)' = 2x

;

(\operatorname{tg} 2x)' = \dfrac{1}{\cos^2 2x} \cdot 2 = \dfrac{2}{\cos^2 2x}

.
Подставляем:

y' = -\dfrac{2x}{\sin^2 x^2} - \operatorname{tg}^2 2x \cdot \dfrac{2}{\cos^2 2x}= -\dfrac{2x}{\sin^2 x^2} - \dfrac{2\operatorname{tg}^2 2x}{\cos^2 2x}.