Раздел III. Производная и дифференциал — § 13. Производная. Формулы и правила вычисления производных. Дифференциал функции

Кудрявцев — задача 13.64

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Вычислить производную функции

y = \dfrac{1}{\sqrt{1 + x^4}(x^2 + \sqrt{1 + x^4})}

Ответ:

y' = -\dfrac{2x}{(1 + x^4)^{3/2}}

Решение

Упростим выражение. Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое

x^2 - \sqrt{1 + x^4}

y = \dfrac{x^2 - \sqrt{1 + x^4}}{\sqrt{1 + x^4}\bigl(x^4 - (1 + x^4)\bigr)} = \dfrac{x^2 - \sqrt{1 + x^4}}{-\sqrt{1 + x^4}} = 1 - \dfrac{x^2}{\sqrt{1 + x^4}}.

Теперь дифференцируем:

y' = -\dfrac{2x \cdot \sqrt{1 + x^4} - x^2 \cdot \dfrac{4x^3}{2\sqrt{1 + x^4}}}{1 + x^4}= -\dfrac{2x\sqrt{1 + x^4} - \dfrac{2x^5}{\sqrt{1 + x^4}}}{1 + x^4}=

= -\dfrac{\dfrac{2x(1+x^4) - 2x^5}{\sqrt{1 + x^4}}}{1 + x^4}= -\dfrac{2x}{(1+x^4)\sqrt{1 + x^4}}.

Или в степенном виде:

y' = -2x(1+x^4)^{-3/2}