Раздел III. Производная и дифференциал — § 13. Производная. Формулы и правила вычисления производных. Дифференциал функции

Кудрявцев — задача 13.95

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Вычислить производную функции

y = \ln (x^2 + \sqrt{x^4 + 1})

Ответ:

y' = \dfrac{2x}{\sqrt{x^4+1}}

Решение

Дифференцируем логарифм сложной функции:

y' = \dfrac{1}{x^2 + \sqrt{x^4+1}} \cdot \left( x^2 + \sqrt{x^4+1} \right)'.

Найдём производную аргумента:

\left( x^2 + \sqrt{x^4+1} \right)' = 2x + \dfrac{1}{2\sqrt{x^4+1}} \cdot 4x^3 = 2x + \dfrac{2x^3}{\sqrt{x^4+1}}.

Подставляем:

y' = \dfrac{ 2x + \dfrac{2x^3}{\sqrt{x^4+1}} }{ x^2 + \sqrt{x^4+1} }= \dfrac{ 2x \left(1 + \dfrac{x^2}{\sqrt{x^4+1}} \right) }{ x^2 + \sqrt{x^4+1} }.

Вынесем

\dfrac{1}{\sqrt{x^4+1}}

из числителя:

1 + \dfrac{x^2}{\sqrt{x^4+1}} = \dfrac{\sqrt{x^4+1} + x^2}{\sqrt{x^4+1}}.

Тогда числитель:

2x \cdot \dfrac{\sqrt{x^4+1} + x^2}{\sqrt{x^4+1}}

.
Знаменатель:

x^2 + \sqrt{x^4+1}

. Сокращаем:

y' = \dfrac{2x \cdot \dfrac{\sqrt{x^4+1} + x^2}{\sqrt{x^4+1}}}{\sqrt{x^4+1} + x^2} = \dfrac{2x}{\sqrt{x^4+1}}.