Раздел III. Неопределённый интеграл — § 5. Интегрирование различных трансцендентных функций

Демидович — задача 2071

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

Задача 2071

\displaystyle\int(1+x^2)^2\cos x\,dx

Ответ:

(x^4-10x^2+21)\sin x+(4x^3-20x)\cos x+C

Решение

Общая формула для решения подобных интегралов была получена нами в номере 2067. Напомним, что она была получена путем последовательного применения формулы интегрирования по частям достаточное число раз.

С учетом вышесказанного, остается только раскрыть скобки, чтобы получить многочлен в стандартной записи:

P(x)=(1+x^2)^2=1+2x^2+x^4

Найдем все необходимые производные, чтобы воспользоваться формулой из номера 2067:

P'(x)=4x^3+4x\\P''(x)=12x^2+4\\P^{(3)}(x)=24x\\P^{(4)}(x)=24\\

Все последующие производные будут равны 0. С учетом этого, запишем выражения

E

O

как в номере 2067 (параметр

a

в нашей задача равен 1):

E=(1+2x^2+x^4)-(12x^2+4)+24=x^4-10x^2+21\\\quad\\O=(4x^3+4x)-24x = 4x^3-20x

Остается только подставить полученные выражения в формулу

E\sin x+O\cos x+C

для получения ответа.