Раздел III. Неопределённый интеграл — § 5. Интегрирование различных трансцендентных функций

Демидович — задача 2099

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы, содержащие функции ln⁡f(x)\ln f(x), arctg⁡f(x)\arctg f(x), arcsin⁡f(x)\arcsin f(x), arccos⁡f(x)\arccos f(x), где f(x)f(x) --- алгебраическая функция:

Задача 2099

∫x3ln⁡3x dx\displaystyle\int x^3\ln^3x\,dx.
Ответ:x4ln⁡3x4−3x4ln⁡2x16+3x4ln⁡x32−3x4128+C\dfrac{x^4\ln^3x}{4}-\dfrac{3x^4\ln^2x}{16}+\dfrac{3x^4\ln x}{32}-\dfrac{3x^4}{128}+C

Решение

При x>0x>0 обозначим Ik=∫x3ln⁡kx dxI_k=\int x^3\ln^k x\,dx. Интегрирование по частям с u=ln⁡kxu=\ln^kx, dv=x3 dxdv=x^3\,dx даётIk=x4ln⁡kx4−k4Ik−1I_k=\dfrac{x^4\ln^kx}{4}-\dfrac k4I_{k-1}Последовательно вычисляем:I0=x44I1=x4ln⁡x4−x416I2=x4ln⁡2x4−x4ln⁡x8+x432I3=x4ln⁡3x4−3x4ln⁡2x16+3x4ln⁡x32−3x4128+C\begin{aligned}
I_0&=\dfrac{x^4}{4}\\
I_1&=\dfrac{x^4\ln x}{4}-\dfrac{x^4}{16}\\
I_2&=\dfrac{x^4\ln^2x}{4}-\dfrac{x^4\ln x}{8}+\dfrac{x^4}{32}\\
I_3&=\dfrac{x^4\ln^3x}{4}-\dfrac{3x^4\ln^2x}{16}+\dfrac{3x^4\ln x}{32}-\dfrac{3x^4}{128}+C
\end{aligned}В промежуточных первообразных постоянные опущены и объединены в итоговую CC.
Демидович № 2099 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика