Раздел III. Неопределённый интеграл — § 5. Интегрирование различных трансцендентных функций

Демидович — задача 2069

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

\displaystyle\int(x^2-2x+2)e^{-x}\,dx

Ответ:

-e^{-x}(x^2+2)+C

Решение

Положим

P(x)=x^2-2x+2, \qquad P'(x)=2x-2, \qquad P''(x)=2

При интегрировании по частям с

dv=e^{-x}dx

v=-e^{-x}

получаем

\begin{aligned} \int Pe^{-x}\,dx &=-Pe^{-x}+\int P'e^{-x}\,dx=\\ &=-e^{-x}(P+P')+\int P''e^{-x}\,dx=\\ &=-e^{-x}(P+P'+P'')\end{aligned}

На промежуточных шагах постоянные не записываем. Подставляя многочлены, находим

\begin{aligned} \int(x^2-2x+2)e^{-x}\,dx &=-e^{-x}\bigl(P(x)+P'(x)+P''(x)\bigr)+C=\\ &=-e^{-x}(x^2+2)+C\end{aligned}