Раздел III. Неопределённый интеграл — § 5. Интегрирование различных трансцендентных функций

Демидович — задача 2079

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

Задача 2079

\displaystyle\int(x-\sin x)^3\,dx

Ответ:

\frac{x^4}{4} + \frac{3x^2}{4} + 3x^2 \cos x - 6 x\sin x - \frac{3}{4} x\sin 2x -5\cos x - \frac{3}{8}\cos 2x- \frac{1}{3}\cos^3 x + C

Решение

С самого начала необходимо раскрыть скобки, чтобы в дальнейшем с помощью формул тригонометрии можно было упростить нашу подынтегральную функцию:

(x-\sin x)^3 = x^3 - 3x^2\sin x+3x\sin^2x-\sin^3 x

Наш исходный интеграл распадается в сумму:

\int (x-\sin x)^3\,dx = \int x^3 \,dx- \int3x^2\sin x\,dx+\int3x\sin^2x\,dx-\int\sin^3 x\,dx

Первый интеграл является табличным:

\int x^3\,dx = \frac{x^4}{4}+C

Последнее слагаемое содержит синус в нечетной степени. В номерах ранее мы уже рассматривали такие интегралы. Для решения один из множителей надо занести под дифференциал и воспользоваться основным тригонометрическим тождеством:

\int \sin^3 x\,dx= -\int \sin^2x \,d(\cos x)=\int (\cos^2 x-1)\,d(\cos x) = \frac{\cos^3 x}{3}-\cos x+ C

Для нахождения интеграла от функции

3x\sin^2 x

стоит воспользоваться формулой понижения степени и последующим интегрированием по частям:

\int 3x\sin^2 x\,dx = \frac{3}{2}\int x(1-\cos (2x))\,dx = \frac{3}{2}\int x\,dx - \frac{3}{4}\int x \,d(\sin(2x)) = \frac{3x^2}{4}-\frac{3x\sin (2x)}{4}+\frac{3}{4}\int \sin(2x)\,dx = \frac{3x^2}{4}-\frac{3x\sin (2x)}{4}- \frac{3}{8}\cos (2x)+C

Остается последний интеграл, который мы вновь будем брать по частям:

3 \int x^2\sin x\,dx = -3\int x^2\,d(\cos x)=-3x^2\cos x+3\int \cos x \,d(x^2)= -3x^2\cos x+6\int x\cos x \,dx

Последнее слагаемое в строке выше тоже находится с помощью интегрирования по частям:

6\int x\cos x \,dx = 6\int x \,d(\sin x) = 6x\sin x - 6\int \sin x\,dx = 6x\sin x + 6\cos x +C

Остается лишь сложить все полученные интегралы с нужными знаками, чтобы получить итоговый ответ.