Раздел III. Неопределённый интеграл — § 5. Интегрирование различных трансцендентных функций

Демидович — задача 2080

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

\displaystyle\int\cos^2\sqrt x\,dx

Ответ:

\frac{x}{2}+\frac{\sqrt x\sin(2\sqrt x)}{2}+\frac{\cos(2\sqrt x)}{4}+C

Решение

Заметим, что при замене

\sqrt x =t

, мы избавимся от иррациональности в аргументе косинуса, а также получим довольно приятный дифференциал:

t=\sqrt x, \quad t^2=x,\quad dx=d(t^2)=2tdt

С учетом этой замены, интеграл перепишется следующим образом:

\int 2t \cos^2t\,dt

Как и во многих задачах ранее (см., например, 2074), воспользуемся формулой понижения степени:

\cos^2t=\frac{1+\cos(2t)}{2}

Наш исходный интеграл разобьется на сумму:

\int 2t \cos^2t\,dt= \int 2t\cdot\frac{1+\cos(2t)}{2}\,dt=\int t\,dt+\int t\cos (2t)\,dt

Первый интеграл является табличным и равняется

\frac{t^2}{2}

, поэтому осталось лишь найти второй. Для этого воспользуемся формулой интегрирования по частям, чтобы избавиться от множителя

t

в подынтегральной функции:

\int t\cos (2t)\,dt = \frac{1}{2}\int t\,d(\sin(2t))=\frac{t\sin(2t)}{2}-\frac{1}{2}\int \sin(2t)\,dt = \frac{t\sin(2t)}{2}+\frac{\cos(2t)}{4}+C

Суммируя обе функции, получаем:

\int 2t \cos^2t\,dt = \frac{t^2}{2}+\frac{t\sin(2t)}{2}+\frac{\cos(2t)}{4}+C

Для записи итогового ответа нужно вспомнить, что

t=\sqrt x