Раздел III. Неопределённый интеграл — § 5. Интегрирование различных трансцендентных функций

Демидович — задача 2094

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

\displaystyle\int\left(1-\frac1x\right)e^{-x}\,dx

Ответ:

-e^{-x}-\operatorname{li}(e^{-x})+C, \qquad x\ne0

Решение

Область определения задаётся условием

x\ne0

. Разделим интеграл на два:

I=\int e^{-x}\,dx-\int\dfrac{e^{-x}}x\,dx

Первое слагаемое равно

-e^{-x}

. Во втором положим

t=e^{-x}

. Тогда

x=-\ln t,\qquaddx=-\dfrac{dt}{t}

и потому

\int\dfrac{e^{-x}}x\,dx=\int\dfrac{t}{-\ln t}\left(-\dfrac{dt}{t}\right)=\int\dfrac{dt}{\ln t}=\operatorname{li}(t)+C

Следовательно,

I=-e^{-x}-\operatorname{li}(e^{-x})+C

Формула применяется отдельно на промежутках

(-\infty,0)

(0,+\infty)