Раздел III. Неопределённый интеграл — § 5. Интегрирование различных трансцендентных функций

Демидович — задача 2089

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

Задача 2089

∫e2x+4ex−1 dx\displaystyle\int\sqrt{e^{2x}+4e^x-1}\,dx.
Ответ:e2x+4ex−1+2ln⁡(ex+2+e2x+4ex−1)+arcsin⁡(e−x−25)+C\sqrt{e^{2x} + 4e^x - 1} + 2 \ln\left(e^x + 2 + \sqrt{e^{2x} + 4e^x - 1}\right) + \arcsin\left(\frac{e^{-x} - 2}{\sqrt{5}}\right) + C

Решение

Перед началом каких-то действий проведем немного рассуждений. Как вариант, можно было бы выделить в подкоренном выражении полный квадрат от exe^x и сделать подходящую замену. Далее потребовалась бы подстановка Эйлера, и в конце концов получили бы интеграл от рациональной функции.

Однако мы пойдем другим путем. Можно домножить и поделить подкоренное выражение на точно такое же. Тогда в числителе появятся экспонетны, которые нам будет удобно заносить под дифференциал, и интегралы заметно упростятся:∫e2x+4ex−1 dx=∫e2x+4ex−1e2x+4ex−1 dx\int \sqrt{e^{2x} + 4e^x - 1} \, dx = \int \frac{e^{2x} + 4e^x - 1}{\sqrt{e^{2x} + 4e^x - 1}} \, dxРазобьем интеграл таким образом, чтобы нам было удобно заносить под дифференциал. Для начала выделим "целую часть":∫e2x+4ex−1e2x+4ex−1 dx=12∫2e2x+4exe2x+4ex−1 dx+∫2ex−1e2x+4ex−1 dx\int \frac{e^{2x} + 4e^x - 1}{\sqrt{e^{2x} + 4e^x - 1}} \, dx = \frac{1}{2}\int \frac{2e^{2x} + 4e^x }{\sqrt{e^{2x} + 4e^x - 1}} \, dx +\int\frac{2e^x - 1}{\sqrt{e^{2x} + 4e^x - 1}} \, dxВесь числитель первого интеграла заносится, после чего задача становится очень простой:12∫2e2x+4exe2x+4ex−1 dx=12∫d(e2x+4ex−1)e2x+4ex−1=e2x+4ex−1+C\frac{1}{2}\int \frac{2e^{2x} + 4e^x }{\sqrt{e^{2x} + 4e^x - 1}} \, dx = \frac{1}{2}\int \frac{d(e^{2x} + 4e^x - 1)}{\sqrt{e^{2x} + 4e^x - 1}}= \sqrt{e^{2x} + 4e^x - 1}+CВторой интеграл тоже будем разбивать по числителю - часть с экспонентой, часть без:∫2ex−1e2x+4ex−1 dx=2∫exe2x+4ex−1  dx−∫dxe2x+4ex−1  dx\int\frac{2e^x - 1}{\sqrt{e^{2x} + 4e^x - 1}} \, dx = 2 \int \frac{e^x}{\sqrt{e^{2x} + 4e^x - 1}}\;dx - \int \frac{dx}{\sqrt{e^{2x} + 4e^x - 1}}\;dxВ первом слагаемом нужно занести экспоненту по дифференциал и выделить полный квадрат в знаменателе, чтобы свести интеграл к табличному:2∫exe2x+4ex−1  dx=2∫d(ex+2)(ex+2)2−5=2ln⁡(ex+2+(ex+2)2−5)+C2 \int \frac{e^x}{\sqrt{e^{2x} + 4e^x - 1}}\;dx = 2 \int \frac{d(e^x+2)}{\sqrt{(e^{x} + 2)^2-5}}= 2 \ln\left(e^x + 2 + \sqrt{(e^x + 2)^2 - 5}\right)+CОстался последний интеграл. Его можно было бы решить с помощью подстановки Эйлера, но более тонкий метод -- домножить числитель и знаменатель на e−xe^{-x}. При таком действии получим интеграл, аналогичный тому, что рассматривали только что:∫dxe2x+4ex−1=∫e−x  dx1+4e−x−e−2x\int \frac{dx}{\sqrt{e^{2x} + 4e^x - 1}} = \int \frac{e^{-x}\;dx}{\sqrt{1 + 4e^{-x} - e^{-2x}}}Выделяем полный квадрат и заносим экспоненту под дифференциал:∫e−x  dx1+4e−x−e−2x=∫d(e−x−2)5−(e−x−2)2=arcsin⁡(e−x−25)+C\int \frac{e^{-x}\;dx}{\sqrt{1 + 4e^{-x} - e^{-2x}}}=\int \frac{d(e^{-x}-2)}{\sqrt{5 -(e^{-x}-2)^2}}= \arcsin\left(\frac{e^{-x} - 2}{\sqrt{5}}\right)+CСуммируем все вместе, чтобы получить окончательный результат.
Демидович № 2089 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика