Раздел III. Неопределённый интеграл — § 5. Интегрирование различных трансцендентных функций

Демидович — задача 2067

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Доказать, что если

P(x)

--- многочлен степени

n

, то

\begin{aligned}\int P(x)\cos ax\,dx&=\frac{\sin ax}{a}\left[P(x)-\frac{P''(x)}{a^2}+\frac{P^{\mathrm{IV}}(x)}{a^4}-\dots\right]\\&\quad+\frac{\cos ax}{a^2}\left[P'(x)-\frac{P'''(x)}{a^2}+\frac{P^{\mathrm V}(x)}{a^4}-\dots\right]+C\end{aligned}

\begin{aligned}\int P(x)\sin ax\,dx&=-\frac{\cos ax}{a}\left[P(x)-\frac{P''(x)}{a^2}+\frac{P^{\mathrm{IV}}(x)}{a^4}-\dots\right]\\&\quad+\frac{\sin ax}{a^2}\left[P'(x)-\frac{P'''(x)}{a^2}+\frac{P^{\mathrm V}(x)}{a^4}-\dots\right]+C.\end{aligned}

Доказано:При

a\ne0

, обозначая

E=P-\dfrac{P''}{a^2}+\dfrac{P^{(4)}}{a^4}-\cdots, \qquad O=P'-\dfrac{P'''}{a^2}+\dfrac{P^{(5)}}{a^4}-\cdots

получаем

\begin{aligned} \int P(x)\cos(ax)\,dx &=\dfrac{\sin(ax)}{a}E+\dfrac{\cos(ax)}{a^2}O+C\\ \int P(x)\sin(ax)\,dx &=-\dfrac{\cos(ax)}{a}E+\dfrac{\sin(ax)}{a^2}O+C\end{aligned}

Суммы конечны, поскольку

P

— многочлен. При

a=0

, записывая

P(x)=\sum_{j=0}^{n}p_jx^j

, имеем

\begin{aligned} \int P(x)\cos(0x)\,dx &=\sum_{j=0}^{n}\dfrac{p_j}{j+1}x^{j+1}+C\\ \int P(x)\sin(0x)\,dx&=C\end{aligned}

Доказательство

Предполагаем

a\ne0

. Введём конечные суммы

\begin{aligned} E(x)&=P(x)-\dfrac{P''(x)}{a^2} +\dfrac{P^{(4)}(x)}{a^4}-\cdots\\ O(x)&=P'(x)-\dfrac{P'''(x)}{a^2} +\dfrac{P^{(5)}(x)}{a^4}-\cdots\end{aligned}

Они заканчиваются последней ненулевой производной соответствующей чётности. Дифференцируя первую сумму, получаем

E'(x)=P'(x)-\dfrac{P'''(x)}{a^2} +\dfrac{P^{(5)}(x)}{a^4}-\cdots=O(x)

Кроме того,

\begin{aligned} a^2\bigl(P(x)-E(x)\bigr) &=a^2\left( \dfrac{P''(x)}{a^2}-\dfrac{P^{(4)}(x)}{a^4} +\dfrac{P^{(6)}(x)}{a^6}-\cdots \right)=\\ &=P''(x)-\dfrac{P^{(4)}(x)}{a^2} +\dfrac{P^{(6)}(x)}{a^4}-\cdots=O'(x)\end{aligned}

Для первой формулы рассмотрим

F_c(x)=\dfrac{\sin(ax)}{a}E(x) +\dfrac{\cos(ax)}{a^2}O(x)

Тогда

\begin{aligned} F_c'(x) &=\cos(ax)E+\dfrac{\sin(ax)}{a}E' -\dfrac{\sin(ax)}{a}O+\dfrac{\cos(ax)}{a^2}O'=\\ &=P(x)\cos(ax)\end{aligned}

Аналогично для

F_s(x)=-\dfrac{\cos(ax)}{a}E(x) +\dfrac{\sin(ax)}{a^2}O(x)

получаем

\begin{aligned} F_s'(x) &=\sin(ax)E-\dfrac{\cos(ax)}{a}E' +\dfrac{\cos(ax)}{a}O+\dfrac{\sin(ax)}{a^2}O'=\\ &=P(x)\sin(ax)\end{aligned}

Тем самым обе формулы доказаны при

a\ne0

. Если

a=0

, то

\cos(ax)=1

\sin(ax)=0

, поэтому интегралы вычисляются отдельно:

\begin{aligned} \int P(x)\cos(0x)\,dx &=\sum_{j=0}^{n}\dfrac{p_j}{j+1}x^{j+1}+C\\ \int P(x)\sin(0x)\,dx&=C, \qquad P(x)=\sum_{j=0}^{n}p_jx^j\end{aligned}

Что и требовалось доказать