Раздел III. Неопределённый интеграл — § 5. Интегрирование различных трансцендентных функций

Демидович — задача 2096

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

Задача 2096

\displaystyle\int\frac{xe^x}{(x+1)^2}\,dx

Ответ:

\frac{e^x}{x+1}+C

Решение

В этой задаче вновь имеем экспоненту, деленную на многочлен. Как и в задачах ранее, например, 2095, будем пытаться свести все к интегральному логарифму.

Здесь можно сразу же в числителе добавить и вычесть 1, чтобы хотя бы в одном слагаемом из полученных получить интегральный логарифм, с которым уже имели дело:

\int \frac{x e^x}{(x+1)^2} \;dx = \int \frac{(x+1-1) e^x}{(x+1)^2} \;dx = \int \frac{ e^x}{x+1} dx - \int \frac{ e^x}{(x+1)^2} dx

Первый интеграл нам уже известен, поэтому будем рассматривать второй. Здесь будет удобно применить интегрирование по частям, чтобы понизить степени знаменателя и вновь прийти к интегральному логарифму:

- \int \frac{ e^x}{(x+1)^2} dx = \int e^x\;d\left( \frac{1}{x+1}\right)=\frac{e^x}{x+1} - \int \frac{e^x}{x+1}\;dx

Пришли ровно к тому, что и хотели. Более того, встречающиеся интегральные логарифмы имеют разные знаки, а значит, полностью пропадут из итоговой функции, оставив только произвольную константу

C

. Остается только записать ответ.