Раздел III. Неопределённый интеграл — § 5. Интегрирование различных трансцендентных функций

Демидович — задача 2106

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы, содержащие функции

\ln f(x)

\arctg f(x)

\arcsin f(x)

\arccos f(x)

, где

f(x)

--- алгебраическая функция:

\displaystyle\int\sqrt x\arctg\sqrt x\,dx

Ответ:

\frac{2}{3}x^{3/2}\arctg \sqrt x - \frac{1}{3}x+\frac{1}{3}\ln|x+1|+C

Решение

Как и в номере 2105, применим интегрирование по частям, чтобы избавиться от арктангенса и перейти к более простому интегралу. Сначала занесем

\sqrt x

под дифференциал:

\int \sqrt x\;\arctg \sqrt x\;dx = \frac{2}{3}\int \arctg \sqrt x\;d(x^{3/2})

Берем по частям:

\frac{2}{3}x^{3/2}-\frac{2}{3}\int x^{3/2}\cdot d(\arctg \sqrt x) = \frac{2}{3}x^{3/2}\arctg \sqrt x-\frac{2}{3}\int x^{3/2}\cdot \frac{dx}{2\sqrt x(1+x)}

Сократим в последнем интеграле корень в знаменателе и числителе, после чего получим интеграл от рациональной функции:

\int \frac {x}{1+x}\;dx

С подобными интегралами уже не раз сталкивались ранее. Для решения выделяем целую часть:

\int \frac {x}{1+x}\;dx = \int \left(1-\frac{1}{1+x}\right)\;dx= x-\ln|x+1|+C

Остается только подставить и получить ответ.