Раздел III. Неопределённый интеграл — § 5. Интегрирование различных трансцендентных функций

Демидович — задача 2068

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

\displaystyle\int x^3e^{3x}\,dx

Ответ:

e^{3x}\left( \dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^2}{3} +\dfrac{2x}{9}-\dfrac{2}{27} \right)+C

Решение

Обозначим

I_k=\int x^ke^{3x}\,dx

. При каждом интегрировании по частям дифференцируем степень

x

: для

k\geqslant1

выбираем

u=x^k,\qquad dv=e^{3x}\,dx, \qquad du=kx^{k-1}\,dx,\qquad v=\dfrac{e^{3x}}{3}

По формуле

\int u\,dv=uv-\int v\,du

получаем рекурсию

I_k=\dfrac{x^ke^{3x}}{3}-\dfrac{k}{3}I_{k-1}

Последовательно применяем её при

k=3,2,1

\begin{aligned} I_3&=\int x^3e^{3x}\,dx =\dfrac{x^3e^{3x}}{3}-I_2\\ I_2&=\int x^2e^{3x}\,dx =\dfrac{x^2e^{3x}}{3}-\dfrac23I_1\\ I_1&=\int xe^{3x}\,dx =\dfrac{xe^{3x}}{3}-\dfrac13I_0\\ I_0&=\int e^{3x}\,dx=\dfrac{e^{3x}}{3}\end{aligned}

Здесь в промежуточных интегралах выбраны согласованные первообразные без постоянных. Подставляем выражения снизу вверх:

\begin{aligned} \int x^3e^{3x}\,dx &=e^{3x}\left( \dfrac{x^3}{3}-\dfrac{3x^2}{3^2} +\dfrac{6x}{3^3}-\dfrac{6}{3^4} \right)+C=\\ &=e^{3x}\left( \dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^2}{3} +\dfrac{2x}{9}-\dfrac{2}{27} \right)+C\end{aligned}