Раздел III. Неопределённый интеграл — § 5. Интегрирование различных трансцендентных функций

Демидович — задача 2101

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы, содержащие функции

\ln f(x)

\arctg f(x)

\arcsin f(x)

\arccos f(x)

, где

f(x)

--- алгебраическая функция:

Задача 2101

\displaystyle\int\ln\bigl[(x+a)^{x+a}(x+b)^{x+b}\bigr]\frac{dx}{(x+a)(x+b)}

Ответ:

\ln(x+a)\ln(x+b)+C

Формула применяется при

x+a>0

x+b>0

Решение

Для начала отметим, что подразумеваются условия

x+a>0

x+b>0

, чтобы корректно было определено выражение под логарифмом.

Теперь перейдем самому интегралу. Заметим, что степени, которые стоят у множителей под логарифмом, очень хорошо сокращаются с множителями за квадратными скобками. Однако, так как показатели степеней разные, сразу же вынести их нельзя. Проблема решается, если логарифм произведения представить как сумму логарифмов:

\ln[(x+a)^{x+a}(x+b)^{x+b}]=\ln[(x+a)^{x+a}]+\ln[(x+b)^{x+b}]

Теперь уже пользуясь свойствами логарифма вынесем степень как множитель:

(x+a)\ln (x+a)+(x+b)\ln (x+b)

Подставим в исходный интеграл. Он распадется на два:

\int \frac{\ln[(x+a)^{x+a}(x+b)^{x+b}]}{(x+a)(x+b)}\;dx = \int\frac{\ln(x+a)}{x+b}\;dx+ \int\frac{\ln(x+b)}{x+a}\;dx

Рассмотрим первый интеграл. Заметим, что его можно переписать в виде:

\int\frac{\ln(x+a)}{x+b}\;dx = \int \ln(x+a)\;d(\ln(x+b))

Значит, нам удобно воспользоваться интегрированием по частям. При этом только поменяются

a

b

в подынтегральном выражении. Для нас это важно тем, что сократится второй интеграл:

\int \ln(x+a)\;d(\ln(x+b)) = \ln(x+a)\ln(x+b) - \int \frac{\ln(x+b)}{x+a}\;dx

Как было сказано, оставшийся интеграл сократится со вторым слагаемым. Остается только записать оставшееся в ответ, не забывая добавить произвольную константу

C