Раздел III. Неопределённый интеграл — § 5. Интегрирование различных трансцендентных функций

Демидович — задача 2066

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Доказать, что если

P(x)

--- многочлен степени

n

, то

\int P(x)e^{ax}\,dx=e^{ax}\left[\frac{P(x)}a-\frac{P'(x)}{a^2}+\dots+(-1)^n\frac{P^{(n)}(x)}{a^{n+1}}\right]+C.

Доказано:При

a\ne0

\int P(x)e^{ax}\,dx =e^{ax}\sum_{k=0}^{n} (-1)^k\dfrac{P^{(k)}(x)}{a^{k+1}}+C

То есть доказана указанная в условии конечная формула. При

a=0

, если

P(x)=\sum_{j=0}^{n}p_jx^j

, получаем

\int P(x)\,dx=\sum_{j=0}^{n}\dfrac{p_j}{j+1}x^{j+1}+C

Доказательство

Формула содержит степени

a

в знаменателях, поэтому предполагается

a\ne0

. Обозначим

S(x)=e^{ax}\sum_{k=0}^{n} (-1)^k\dfrac{P^{(k)}(x)}{a^{k+1}}

Поскольку

P

имеет степень

n

, выполняется

P^{(n+1)}(x)=0

. Дифференцируя

S

, получаем

\begin{aligned} S'(x) &=e^{ax}\sum_{k=0}^{n} (-1)^k\dfrac{P^{(k)}(x)}{a^k} +e^{ax}\sum_{k=0}^{n} (-1)^k\dfrac{P^{(k+1)}(x)}{a^{k+1}}\end{aligned}

Переиндексируем вторую сумму, положив

j=k+1

\sum_{k=0}^{n}(-1)^k \dfrac{P^{(k+1)}(x)}{a^{k+1}} =\sum_{j=1}^{n+1}(-1)^{j-1} \dfrac{P^{(j)}(x)}{a^j}

Теперь видно, что слагаемые при

P',P'',\ldots,P^{(n)}

в двух суммах сокращаются попарно. Член с

P^{(n+1)}

равен нулю, а от первой суммы остаётся

P(x)

. Следовательно,

S'(x)=P(x)e^{ax}

, то есть

S

является требуемой первообразной. Если

a=0

, делить на степени

a

нельзя. Запишем многочлен как

P(x)=\sum_{j=0}^{n}p_jx^j

и проинтегрируем его почленно:

\int P(x)\,dx=\sum_{j=0}^{n}\dfrac{p_j}{j+1}x^{j+1}+C

Таким образом, этот случай тоже даёт конечную элементарную формулу.

Что и требовалось доказать