Раздел III. Неопределённый интеграл — § 5. Интегрирование различных трансцендентных функций

Демидович — задача 2078

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

Задача 2078

\displaystyle\int xe^x\sin^2x\,dx

Ответ:

e^x \left( \frac{x - 1}{2} - \frac{x}{10} (2 \sin 2x + \cos 2x) + \frac{1}{50} (4 \sin 2x - 3 \cos 2x) \right) + C

Решение

В первую очередь используем формулу понижения степени, чтобы свести к двум более простым интегралам:

\int x e^x \sin^2 x \, dx = \frac{1}{2} \int x e^x (1 - \cos 2x) \, dx = \frac{1}{2} \int x e^x \, dx - \frac{1}{2} \int x e^x \cos 2x \, dx

Первый интеграл решается применением формулы интегрирования по частям:

\int x e^x \, dx = x e^x - \int e^x \, dx = e^x (x - 1)+C

Для решения второго интеграла также нужно воспользоваться интегрированием по частям. Можно заносить как косинус , так и экспоненту. Мы остановимся на втором варианте:

\int x e^x \cos 2x \, dx = \int x \cos 2x \, d(e^x)=xe^x\cos 2x - \int e^x\, d(x\cos 2x) = xe^x\cos 2x + 2\int x e^x\sin 2x\, dx- \int e^x \cos 2x \,dx

Последний интеграл был разобран в общем виде в номере 1828, поэтому просто воспользуемся имеющейся формулой:

\int e^x \cos 2x \,dx = \frac{e^x}{5}(\cos 2x+2\sin 2x)+C

Оставшийся интеграл снова будем решать с помощью формулы интегрирования по частям:

2\int x e^x\sin 2x\, dx = 2\int x \sin 2x\, d(e^x) = 2xe^x\sin 2x - 2\int e^x\,d(x\sin 2x)=2xe^x\sin 2x - 2\int e^x\sin 2x\,dx - 4\int xe^x\cos 2x\,dx

Видим, что мы пришли к интегралу, который тесно связан с исходным -- если исходный интеграл обозначить через

I

, то получим:

\int xe^x\cos 2x\,dx = e^x(x-1)-2I

Перед тем как выразить

I

полностью, найдем последний вспомогательный интеграл с помощью формулы из номера 1829:

\int e^x\sin 2x\,dx = \frac{e^x}{5}(\sin 2x-2\cos 2x)+C

Подставив все полученные выражения в самое первое равенство нашего решения, получим:

I=\frac{e^x (x - 1)}{2}- \frac{1}{2}\left( xe^x\cos 2x - \frac{e^x}{5}(\cos 2x+2\sin 2x)+ 2xe^x\sin 2x- \frac{2e^x}{5}(\sin 2x-2\cos 2x)- 4 e^x(x-1)+8I\right)

Для ответа остается только собрать

I

в одной стороне равенства, а все другие функции -- в другой.