Раздел III. Неопределённый интеграл — § 5. Интегрирование различных трансцендентных функций

Демидович — задача 2095

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

Задача 2095

\displaystyle\int\frac{e^{2x}}{x^2-3x+2}\,dx

Ответ:

e^4\;\text{li}(e^{2x-4})- e^2\;\text{li}(e^{2x-2})+C

x\ne1

x\ne2

; на каждом промежутке области определения постоянная

C

выбирается независимо.

Решение

Подынтегральная функция определена при

xe1

xe2

. Для решения потребуется разложить знаменатель на простые дроби. В таком случае получим два интеграла, схожих с тем, что был в номере 2094. Их уже можно будет выразить через интегральный логарифм.

Так как корнями полинома из знаменателя являются 1 и 2, разложение на простые дроби будет следующим:

\frac{e^{2x}}{x^2-3x+2} = \frac{Ae^{2x}}{x-1}+\frac{Be^{2x}}{x-2}

Равенство для неопределенных коэффициентов будет следующим:

Ae^{2x}(x-2)+Be^{2x}(x-1)=e^{2x}

Приравнивая коэффициенты при соответствующих степенях переменной

x

, получаем:

A=-1\quad B=1

Значит, исходный интеграл разобьется на сумму так:

\int \frac{e^{2x}}{x^2-3x+2}\;dx = \int \frac{e^{2x}}{x-2}\;dx - \int \frac{e^{2x}}{x-1}\;dx

Теперь уже оба интеграла будем сводить к интегральному логарифму. Чтобы избежать лишних трудностей, нужно сводить к выражениям, которые стоят в знаменателях.

В первом интеграле в знаменателе имеем

x-2

. Значит, аналогичное выражение стоит выделить в степени экспоненты:

e^{2x}=e^{2(x-2)+4}=e^{2(x-2)}\cdot e^4

Теперь можно домножить числитель и знаменатель на 2, чтобы в степени экспонеты и в знаменателе стояло выражение от

x-2

с одним и тем же коэффициентом. Тогда можно будет уже легко сводить к

\text{li}

именно от полученного:

\int \frac{e^{2x}}{x-2}\;dx = e^4\int\frac{2e^{2(x-2)}}{2(x-2)}\;dx= e^4\int\frac{e^{2(x-2)}}{2(x-2)}\;d(2(x-2))

Теперь уже отчетливо видно интегральный логарифм как в задаче 2094:

e^4\int\frac{e^{2(x-2)}}{2(x-2)}\;d(2(x-2)) =e^4\;\text{li}(e^{2x-4})+C

Абсолютно аналогичные действия выполним со вторым интегралом:

\int \frac{e^{2x}}{x-1}\;dx = e^2\int\frac{e^{2(x-1)}}{2(x-1)}\;d(2(x-1)) = e^2\;\text{li}(e^{2x-2})+C

Остается вычесть из одной функции другую, чтобы получить ответ.