Раздел III. Неопределённый интеграл — § 5. Интегрирование различных трансцендентных функций

Демидович — задача 2114

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы, содержащие функции

\ln f(x)

\arctg f(x)

\arcsin f(x)

\arccos f(x)

, где

f(x)

--- алгебраическая функция:

Задача 2114

\displaystyle\int x\ln\frac{1+x}{1-x}\,dx

Ответ:

\frac{1}{2}x^2 \ln \frac{1+x}{1-x}-\frac{1}{2}\ln \frac{1+x}{1-x}+x+C

Решение

Наша цель - избавиться от логарифма и перейти к интегралу более простого вида, например, от рациональной функции. С этой мотивацией будем применять интегрирование по частям. Оставим только логарифм в подынтегральном выражении:

\int x \ln \frac{1+x}{1-x} \, dx = \frac{1}{2}\int \ln \frac{1+x}{1-x} \, d(x^2)

Возьмем интеграл по частям:

\frac{1}{2}x^2 \ln \frac{1+x}{1-x}-\frac{1}{2}\int x^2\;d\left( \ln \frac{1+x}{1-x}\right)

Воспользуемся равенством

d\left( \ln \frac{1+x}{1-x}\right) = \frac{2\;dx}{1-x^2}

чтобы упростить второе слагаемое:

\frac{1}{2}\int x^2\;d\left( \ln \frac{1+x}{1-x}\right) = \frac{1}{2}\int x^2\cdot\frac{2\;dx}{1-x^2}=\int \frac{x^2}{1-x^2}\;dx

Чтобы найти последний интеграл, выделим целую часть:

\int \frac{x^2}{1-x^2}\;dx = \int \left(-1+\frac{1}{1-x^2}\right)\;dx

Оба интеграла являются табличными:

\int \left(-1+\frac{1}{1-x^2}\right)\;dx = -x+\frac{1}{2}\ln \frac{1+x}{1-x}+C

Суммируем все полученные функции, чтобы записать ответ.