Раздел III. Неопределённый интеграл — § 5. Интегрирование различных трансцендентных функций

Демидович — задача 2102

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы, содержащие функции

\ln f(x)

\arctg f(x)

\arcsin f(x)

\arccos f(x)

, где

f(x)

--- алгебраическая функция:

Задача 2102

\displaystyle\int\ln^2\bigl(x+\sqrt{1+x^2}\bigr)\,dx

Ответ:

x \ln^2(x+\sqrt{1+x^2}) - 2\sqrt{1+x^2}\;\ln(x+\sqrt{1+x^2})+2x+C

Решение

Для решения применим уже излюбленный метод интегрирования по частям, чтобы понизить степень логарифма, как это было в задачах 2099 и 2100:

\int \ln^2(x+\sqrt{1+x^2})\;dx = x \ln^2(x+\sqrt{1+x^2}) - \int x\;d(\ln^2(x+\sqrt{1+x^2}))

Посчитаем отдельно нужный дифференциал:

d(\ln^2(x+\sqrt{1+x^2})) = 2\ln(x+\sqrt{1+x^2})\cdot \frac{dx}{\sqrt{1+x^2}}

Значит, сейчас нам интересен следующий интеграл:

\int \frac{2x\ln(x+\sqrt{1+x^2})}{\sqrt{1+x^2}}\;dx

Нам хотелось бы оставить под интегралом лишь логарифм, оставшиеся множители запихнув под дифференциал. Заметим, что как раз это мы и можем это сделать, ведь:

(\sqrt{1+x^2})' = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}

Занесем нужную часть под дифференциал :

\int \frac{2x\ln(x+\sqrt{1+x^2})}{\sqrt{1+x^2}}\;dx = 2\int\ln(x+\sqrt{1+x^2})\;d(\sqrt{1+x^2})=

Применим интегрирование по частям:

2\sqrt{1+x^2}\;\ln(x+\sqrt{1+x^2}) - 2\int \sqrt{1+x^2}\cdot \frac{dx}{\sqrt{1+x^2}}

В последнем слагаемом после сокращений остается только единица. Найти ее первообразную проблем не составляет. Теперь полностью нашли промежуточный интеграл:

\int x\;d(\ln^2(x+\sqrt{1+x^2})) = 2\sqrt{1+x^2}\;\ln(x+\sqrt{1+x^2})-2x+C

Остается подставить выражение в самое первое равенство и записать ответ.