Раздел III. Неопределённый интеграл — § 5. Интегрирование различных трансцендентных функций

Демидович — задача 2070

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

\displaystyle\int x^5\sin5x\,dx

Ответ:

\begin{aligned} &-\dfrac{\cos(5x)}{5}\left( x^5-\dfrac{4x^3}{5}+\dfrac{24x}{125} \right)+\dfrac{\sin(5x)}{25}\left( 5x^4-\dfrac{12x^2}{5}+\dfrac{24}{125} \right)+C\end{aligned}

Решение

Ищем первообразную в виде

F(x)=-\dfrac{\cos(5x)}{5}E(x) +\dfrac{\sin(5x)}{25}O(x)

где

E

O

— многочлены, построенные из производных

P(x)=x^5

. Нужные производные равны

\begin{aligned} P'(x)&=5x^4, &P''(x)&=20x^3, &P'''(x)&=60x^2,\\ P^{(4)}(x)&=120x, &P^{(5)}(x)&=120\end{aligned}

Определим

E=P-\dfrac{P''}{25}+\dfrac{P^{(4)}}{25^2}

O=P'-\dfrac{P'''}{25}+\dfrac{P^{(5)}}{25^2}

. После подстановки производных получаем

\begin{aligned} E(x)&=x^5-\dfrac{20x^3}{25}+\dfrac{120x}{625} =x^5-\dfrac{4x^3}{5}+\dfrac{24x}{125},\\ O(x)&=5x^4-\dfrac{60x^2}{25}+\dfrac{120}{625} =5x^4-\dfrac{12x^2}{5}+\dfrac{24}{125}\end{aligned}

Прямое дифференцирование этих двух многочленов даёт

E'=O, \qquad O'=25(P-E)

Поэтому

\begin{aligned} F' &=\sin(5x)E-\dfrac{\cos(5x)}5E' +\dfrac{\cos(5x)}5O +\dfrac{\sin(5x)}{25}O'=\\ &=\sin(5x)\left(E+\dfrac{O'}{25}\right) =x^5\sin(5x)\end{aligned}

Подставляя

E

O

F

, получаем ответ.