Раздел III. Неопределённый интеграл — § 5. Интегрирование различных трансцендентных функций

Демидович — задача 2105

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы, содержащие функции

\ln f(x)

\arctg f(x)

\arcsin f(x)

\arccos f(x)

, где

f(x)

--- алгебраическая функция:

Задача 2105

\displaystyle\int x\arctg(x+1)\,dx

Ответ:

\frac{x^2 \arctg(x+1)}{2} - \frac{x}{2}+\frac{1}{2}\ln |x^2+2x+2|+C

Решение

Как и в задачах с логарифмом до этого, нам стоит применить интегрирование по частям, ведь тогда уйдет арктангенс и останется лишь интеграл от рациональной функции:

\int x\arctg(x+1)\;dx = \int \arctg(x+1)\;d\left(\frac{x^2}{2}\right) =\\=\frac{x^2 \arctg(x+1)}{2} - \int \frac{x^2}{2}\;d(\arctg(x+1))

Пользуясь равенством

d(\arctg(x+1)) = \frac{dx}{1+(x+1)^2}

запишем последний интеграл:

\frac{1}{2}\int \frac{x^2\;dx}{1+(x+1)^2}=\frac{1}{2}\int \frac{x^2\;dx}{x^2+2x+2}

Остается только найти первообразную от рациональной функции, что уже неоднократно проделывали. Выделим целую часть:

\frac{1}{2}\int \frac{x^2\;dx}{x^2+2x+2} = \frac{1}{2}\int \left(1-\frac{2x+2}{x^2+2x+2}\right)\;dx

Проинтегрируем первое слагаемое:

\frac{1}{2}\int dx = \frac{x}{2}+C

Второе тоже не составит труда, ведь весь числитель занесется под дифференциал:

\frac{1}{2}\int \frac{2x+2}{x^2+2x+2}\;dx = \frac{1}{2}\int \frac{d(x^2+2x+2)}{x^2+2x+2} = \frac{1}{2}\ln |x^2+2x+2|+C

Собираем все 3 слагаемых вместе и получаем окончательный результат.