Раздел III. Неопределённый интеграл — § 5. Интегрирование различных трансцендентных функций

Демидович — задача 2093

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

\displaystyle\int\left(1-\frac2x\right)^2e^x\,dx

Ответ:

e^x-\dfrac{4e^x}{x}+C,\qquad x\ne0

Решение

Раскроем квадрат:

\left(1-\dfrac2x\right)^2e^x=e^x-\dfrac{4e^x}{x}+\dfrac{4e^x}{x^2}

Производная отношения равна

\left(\frac{e^x}{x}\right)'=\frac{e^x}{x}-\frac{e^x}{x^2}

. Следовательно,

\left(1-\dfrac2x\right)^2e^x=e^x-4\left(\dfrac{e^x}{x}\right)'

Интегрируя, получаем

e^x-\frac{4e^x}{x}+C

на каждом из промежутков

x<0

x>0