Раздел III. Неопределённый интеграл — § 5. Интегрирование различных трансцендентных функций

Демидович — задача 2076

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

\displaystyle\int xe^x\sin x\,dx

Ответ:

\dfrac{e^x}{2}\bigl(x(\sin x-\cos x)+\cos x\bigr)+C

Решение

Первообразная

e^x\sin x

равна

\frac12e^x(\sin x-\cos x)

, что проверяется дифференцированием. Интегрируя по частям с

u=x

, получаем

I=\dfrac{x e^x}{2}(\sin x-\cos x)-\dfrac12\int e^x(\sin x-\cos x)\,dx

Поскольку

(e^x\cos x)'=e^x(\cos x-\sin x)

I=\dfrac{e^x}{2}\bigl(x(\sin x-\cos x)+\cos x\bigr)+C