Раздел III. Неопределённый интеграл — § 5. Интегрирование различных трансцендентных функций

Демидович — задача 2115

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы, содержащие функции

\ln f(x)

\arctg f(x)

\arcsin f(x)

\arccos f(x)

, где

f(x)

--- алгебраическая функция:

Задача 2115

\displaystyle\int\frac{\ln\bigl(x+\sqrt{1+x^2}\bigr)\,dx}{(1+x^2)^{3/2}}

Ответ:

\frac{x \ln(x + \sqrt{1+x^2})}{\sqrt{1+x^2}} - \frac{1}{2}\ln |1+x^2|+C

Решение

Для того, чтобы избавиться от логарифма, необходимо воспользоваться формулой интегрирования по частям. Перед этим все остальные множители подынтегрального выражения нужно занести под дифференциал. Заметим, что мы на самом деле уже проделывали это действие с данной функцией в номере 2104, поэтому просто воспользуемся равенством:

\frac{dx}{(1-x^2)^{3/2}}=d\left(\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\right)

Берем интеграл по частям:

\int \frac{\ln(x + \sqrt{1+x^2})}{(1+x^2)^{3/2}} \, dx = \frac{x \ln(x + \sqrt{1+x^2})}{\sqrt{1+x^2}} - \int \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \; d(\ln|x+\sqrt{1-x^2}|)

В силу того, что

d(\ln|x+\sqrt{1+x^2}|) = \frac{dx}{\sqrt{1+x^2}}

последнее слагаемое перепишется в виде:

\int \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\cdot \frac{dx}{\sqrt{1+x^2}} = \int \frac{x}{1+x^2}\;dx

Чтобы найти его, нужно лишь занеcти множитель

x

под дифференциал:

\int \frac{x}{1+x^2}\;dx = \frac{1}{2}\int \frac{d(1+x^2)}{1+x^2} = \frac{1}{2}\ln |1+x^2|+C

Соберем все вместе для получения итогового ответа.