Раздел III. Неопределённый интеграл — § 5. Интегрирование различных трансцендентных функций

Демидович — задача 2088

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

Задача 2088

∫ex−1ex+1 dx\displaystyle\int\sqrt{\frac{e^x-1}{e^x+1}}\,dx.
Ответ:ln⁡∣ex+e2x−1∣−2arctg⁡(ex−1ex+1)+C\ln\left| e^x + \sqrt{e^{2x} - 1} \right| - 2\arctg\left(\sqrt{\frac{e^x - 1}{e^x + 1}}\right) + C

Решение

Вновь, как и в номере 2087, будем искать подходящую замену, чтобы свести задачу к нахождению первообразной от рациональной функции.

В виду отсутствия ярко выраженной хорошей замены, обозначим все подынтегральное выражение за новую переменную:t=ex−1ex+1t = \sqrt{\frac{e^x - 1}{e^x + 1}}Теперь нужно выразить xx через переменную tt. Для начала возведем обе части в квадрат:t2=ex−1ex+1t^2 = \frac{e^x - 1}{e^x + 1}Далее выразим exe^x:ex=1+t21−t2e^x = \frac{1 + t^2}{1 - t^2}Остается взять логарифм:x=ln⁡(1+t21−t2)=ln⁡(1+t2)−ln⁡(1−t2)x = \ln\left(\frac{1 + t^2}{1 - t^2}\right) = \ln(1 + t^2) - \ln(1 - t^2)Найдем дифференциал данного выражения:dx=d(ln⁡(1+t2)−ln⁡(1−t2))=2t  dt1+t2−2t  dt1−t2dx = d( \ln(1 + t^2) - \ln(1 - t^2)) = \frac{2t\;dt}{1+t^2} - \frac{2t\;dt}{1-t^2}После приведения к общему знаменателю, получим:dx=4t  dt(1+t2)(1−t2)dx = \frac{4t\;dt}{(1+t^2)(1-t^2)}С учетом всего этого исходный интеграл перепишется в виде:∫t⋅4t(1+t2)(1−t2) dt=∫4t2(1+t2)(1−t2) dt\int t \cdot \frac{4t}{(1+t^2)(1-t^2)} \, dt = \int \frac{4t^2}{(1+t^2)(1-t^2)} \, dtПолучили интеграл от рациональной функции, как и планировали. Решим его методом неопределенных коэффициентов. Сначала разложим знаменатель на неприводимые множители:(1+t2)(1−t2)=(1+t2)(1−t)(1+t)(1+t^2)(1-t^2)=(1+t^2)(1-t)(1+t)Значит, подынтегральное выражение должно разложиться на следующую сумму:4t2(1+t2)(1−t2)=A1−t+B1+t+Ct+D1+t2\frac{4t^2}{(1+t^2)(1-t^2)} = \frac{A}{1-t}+\frac{B}{1+t}+\frac{Ct+D}{1+t^2}После приведения правой части к общему знаменателю, должны иметь равенство числителей:4t2=A(1+t)(1+t2)+B(1−t)(1+t2)+(Ct+D)(1−t2)4t^2=A(1+t)(1+t^2)+B(1-t)(1+t^2)+(Ct+D)(1-t^2)Приравнивая коэффициенты, получим:A=1B=1C=0D=−2A = 1 \quad B = 1\quad C = 0\quad D = -2Значит, имеем равенство:4t2(1+t2)(1−t2)=11−t+11+t−21+t2\frac{4t^2}{(1+t^2)(1-t^2)} = \frac{1}{1 - t} + \frac{1}{1 + t} - \frac{2}{1 + t^2}Заметим, что взять интеграл от каждого слагаемого в правой части уже не составляет никакого труда, ведь все они являются табличными:∫(11−t+11+t−21+t2)dt=−ln⁡∣1−t∣+ln⁡∣1+t∣−2arctg⁡t+C\int \left( \frac{1}{1 - t} + \frac{1}{1 + t} - \frac{2}{1 + t^2} \right) dt = -\ln|1 - t| + \ln|1 + t| - 2\arctg t + CОбъединим логарифмы в один:ln⁡∣1+t1−t∣−2arctg⁡t+C\ln\left|\frac{1 + t}{1 - t}\right| - 2\arctg t + CДля получения ответа остается только сделать обратную замену переменных:ln⁡∣1+ex−1ex+11−ex−1ex+1∣−2arctg⁡(ex−1ex+1)+C\ln\left| \frac{1 + \sqrt{\frac{e^x - 1}{e^x + 1}}}{1 - \sqrt{\frac{e^x - 1}{e^x + 1}}} \right| - 2\arctg \left(\sqrt{\frac{e^x - 1}{e^x + 1}}\right) + CДля большей красоты, мы еще упростим наш логарифм. Домножим числитель и знаменатель дроби под логарифмом на ex+1\sqrt{e^x + 1}:ex+1+ex−1ex+1−ex−1\frac{\sqrt{e^x + 1} + \sqrt{e^x - 1}}{\sqrt{e^x + 1} - \sqrt{e^x - 1}}Избавимся от иррациональности в знаменателе, домножив на сопряженное:(ex+1+ex−1)2(ex+1)−(ex−1)=ex+1+2e2x−1+ex−12=ex+e2x−1\frac{(\sqrt{e^x + 1} + \sqrt{e^x - 1})^2}{(e^x + 1) - (e^x - 1)} = \frac{e^x + 1 + 2\sqrt{e^{2x} - 1} + e^x - 1}{2} = e^x + \sqrt{e^{2x} - 1}Теперь уже запишем итоговый ответ.
Демидович № 2088 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика