Раздел III. Неопределённый интеграл — § 5. Интегрирование различных трансцендентных функций

Демидович — задача 2090

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

Задача 2090

∫dx1+ex+1−ex\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{1+e^x}+\sqrt{1-e^x}}.
Ответ:1−ex−1+ex2ex+14ln⁡(1+ex−11+ex+1)+14ln⁡(1−1−ex1+1−ex)+C\frac{\sqrt{1-e^x} - \sqrt{1+e^x}}{2e^x} + \frac{1}{4} \ln\left(\frac{\sqrt{1+e^x}-1}{\sqrt{1+e^x}+1}\right) + \frac{1}{4} \ln\left(\frac{1-\sqrt{1-e^x}}{1+\sqrt{1-e^x}}\right) + C

Решение

В первую очередь стоит как-то преобразовать подынтегральную функцию, чтобы она приняла более удобный вид. В ситуации, когда в знаменателе стоит сумма квадратных корней, нередко помогает домножение на сопряженное выражение, ведь тогда все корни будут уже только в числителе нашей функции:11+ex+1−ex=1+ex−1−ex(1+ex+1−ex)(1+ex−1−ex)\frac{1}{\sqrt{1+e^x} + \sqrt{1-e^x}}= \frac{\sqrt{1+e^x} - \sqrt{1-e^x}}{(\sqrt{1+e^x} + \sqrt{1-e^x})(\sqrt{1+e^x} - \sqrt{1-e^x})}После упрощения полученного выражения останется следующее:1+ex−1−ex2ex\frac{\sqrt{1+e^x} - \sqrt{1-e^x}}{2e^x}Исходный интеграл таким образом разбивается на два:∫dx1+ex+1−ex=∫1+ex2ex  dx−∫1−ex2ex  dx\int \frac{dx}{\sqrt{1+e^x} + \sqrt{1-e^x}} = \int \frac{\sqrt{1+e^x}}{2e^x}\;dx - \int \frac{\sqrt{1-e^x}}{2e^x}\;dxРешим по очереди каждый из них.

1) Заметим, что при применении формулы интегрирования по частям корень уйдет в знаменатель, и тогда задача станет похожа на то, что мы видели ранее, например, в номере 2087. Сначала занесем экспоненту под дифференциал:∫1+ex2ex  dx=12∫e−x1+ex  dx=−12∫1+ex  d(e−x)\int \frac{\sqrt{1+e^x}}{2e^x}\;dx = \frac{1}{2}\int e^{-x}\sqrt{1+e^x}\;dx = -\frac{1}{2}\int \sqrt{1+e^x}\;d(e^{-x})Теперь уже применим формулу интегрирования по частям. Множитель −12-\frac{1}{2} пока не будем учитывать, чтобы не загромождать рассуждения:∫1+ex  d(e−x)=e−x1+ex−∫(e−x⋅ex21+ex)dx=1+exex−12∫dx1+ex\int \sqrt{1+e^x}\;d(e^{-x}) = e^{-x}\sqrt{1+e^x} - \int \left( e^{-x} \cdot \frac{e^x}{2\sqrt{1+e^x}} \right) dx = \frac{\sqrt{1+e^x}}{e^x} - \frac{1}{2} \int \frac{dx}{\sqrt{1+e^x}}Оставшийся интеграл решим как в номере 2087: обозначим знаменатель за новую переменную tt, чтобы прийти к задаче нахождения первообразной от рациональной функции:t=ex+1x=ln⁡∣t2−1∣dx=2t  dtt2−1t = \sqrt{e^x+1}\quad x=\ln|t^2-1| \quad dx = \frac{2t\;dt}{t^2-1}После подстановки в интеграл получим:∫2t2−1dt\int \frac{2}{t^2-1}dtЭтот интеграл уже является табличным:∫2t2−1dt=ln⁡∣t−1t+1∣+C\int \frac{2}{t^2-1}dt = \ln\left|\frac{t-1}{t+1}\right|+CВернемся к переменной xx, чтобы записать значение всего рассматриваемого интеграла:∫1+ex2ex  dx=−e−x1+ex2+14ln⁡∣ex+1−1ex+1+1∣+C\int \frac{\sqrt{1+e^x}}{2e^x}\;dx = -\frac{e^{-x}\sqrt{1+e^x}}{2}+\frac{1}{4}\ln\left|\frac{\sqrt{e^x+1}-1}{\sqrt{e^x+1}+1}\right|+C2) Полностью аналогично найдем второе слагаемое нашего исходного интеграла:∫1−ex2ex  dx=−12∫1−exd(e−x)\int \frac{\sqrt{1-e^x}}{2e^x}\;dx =-\frac{1}{2} \int \sqrt{1-e^x}d(e^{-x})Применяем формулу (множитель перед интегралом также пока не учитываем):∫1−ex  d(e−x)=e−x1−ex−∫(e−x⋅−ex21−ex)dx=1−exex+12∫dx1−ex\int \sqrt{1-e^x}\;d(e^{-x}) = e^{-x}\sqrt{1-e^x} - \int \left( e^{-x} \cdot \frac{-e^x}{2\sqrt{1-e^x}} \right) dx = \frac{\sqrt{1-e^x}}{e^x} + \frac{1}{2} \int \frac{dx}{\sqrt{1-e^x}}Аналогично вводим замену:t=1−exx=ln⁡∣1−t2∣dx=−2t  dt1−t2t = \sqrt{1-e^x}\quad x=\ln|1-t^2| \quad dx = -\frac{2t\;dt}{1-t^2}После подстановки тоже получаем табличный интеграл:−∫21−t2dt=ln⁡∣1−tt+1∣+C-\int \frac{2}{1-t^2}dt = \ln\left|\frac{1-t}{t+1}\right|+CВернемся к переменной xx и запишем весь рассматриваемый интеграл:∫1−ex2ex  dx=−e−x1−ex2+14ln⁡∣1−1−ex1+1−ex∣+C\int \frac{\sqrt{1-e^x}}{2e^x}\;dx = -\frac{e^{-x}\sqrt{1-e^x}}{2}+\frac{1}{4}\ln\left|\frac{1-\sqrt{1-e^x}}{1+\sqrt{1-e^x}}\right|+CОстается только сложить полученные результаты и записать ответ.
Демидович № 2090 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика