Раздел III. Неопределённый интеграл — § 5. Интегрирование различных трансцендентных функций

Демидович — задача 2083

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

\displaystyle\int\frac{e^{2x}}{1+e^x}\,dx

Ответ:

e^x-\ln |1+e^x|+C

Решение

Заметим, что

e^{2x}=e^x\cdot e^x

. Тогда интеграл можно переписать в виде:

\int \frac{e^{2x}}{1 + e^x} \, dx = \int \frac{e^x \cdot e^x}{1 + e^x} \, dx

Так как

d(e^x)=e^xdx

, занесем

e^x

под дифференциал:

\int \frac{e^x \cdot e^x}{1 + e^x} \, dx= \int \frac{e^x}{1 + e^x} \, d(e^x)

Сделаем замену

t=e^x

. Интеграл перепишется следующим образом:

\int \frac{t}{1 + t} \, dt

Для решения данного простого интеграла нужно добавить и вычесть единицу в числителе, ведь в таком случае сможем выделить целую часть:

\int \frac{t}{1 + t} \, dt=\int \frac{1+t-1}{1 + t} \, dt = \int \left(1-\frac{1}{1+t}\right)\,dt = t-\ln |1+t|+C

Чтобы получить окончательный ответ, нужно всего лишь вспомнить, что

t=e^x