Раздел III. Неопределённый интеграл — § 5. Интегрирование различных трансцендентных функций

Демидович — задача 2111

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы, содержащие функции ln⁡f(x)\ln f(x), arctg⁡f(x)\arctg f(x), arcsin⁡f(x)\arcsin f(x), arccos⁡f(x)\arccos f(x), где f(x)f(x) --- алгебраическая функция:

Задача 2111

∫arccos⁡x(1−x2)3/2 dx\displaystyle\int\frac{\arccos x}{(1-x^2)^{3/2}}\,dx.
Ответ:x  arccos⁡x1−x2−12ln⁡∣1−x2∣+C\frac{x\;\arccos x}{\sqrt{1-x^2}}-\frac{1}{2}\ln|1-x^2|+C

Решение

Вновь будем использовать интегрирование по частям, чтобы избавиться от arccos⁡x\arccos x. Для этого нужно все остальное в нашем интегральном выражении занести под дифференциал. Такая функция у нас уже встречалась ранее в номере 2104, поэтому просто используем равенство:dx(1−x2)3/2=d(x1−x2)\frac{dx}{(1-x^2)^{3/2}}=d\left(\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\right)Проинтегрируем по частям:∫arccos⁡x(1−x2)3/2 dx=x  arccos⁡x1−x2−∫x1−x2  d(arccos⁡x)\int \frac{\arccos x}{(1-x^2)^{3/2}} \, dx = \frac{x\;\arccos x}{\sqrt{1-x^2}} - \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\;d(\arccos x)Распишем дифференциал во втором интеграле:x  arccos⁡x1−x2+∫x1−x2  dx\frac{x\;\arccos x}{\sqrt{1-x^2}} + \int \frac{x}{1-x^2}\;dxДля нахождения первообразной подынтегрального выражения необходимо занести множитель из числителя под дифференциал, и задача станет тривиальной:∫x1−x2  dx=−12∫d(1−x2)1−x2=−12ln⁡∣1−x2∣+C\int \frac{x}{1-x^2}\;dx = -\frac{1}{2}\int \frac{d(1-x^2)}{1-x^2} = -\frac{1}{2}\ln|1-x^2|+CСоберем функции вместе и запишем ответ.
Демидович № 2111 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика