Раздел III. Неопределённый интеграл — § 5. Интегрирование различных трансцендентных функций

Демидович — задача 2086

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

Задача 2086

\displaystyle\int\frac{1+e^{x/2}}{(1+e^{x/4})^2}\,dx

Ответ:

x+\frac{8}{1+e^{x/4}}+C

Решение

Заметим, что показатель у экспоненты в числителе кратен показателю в знаменателе, то есть:

\frac{x}{2}=2\cdot \frac{x}{4}

В связи с этим, мы можем сделать замену

t=e^{\frac{x}{4}}

, так как вся функция зависит от только от этого выражения. При такой замене имеем:

x=4\ln t\quad \text{и}\quad dx=\frac{4\;dt}{t}

Подставим все в исходный интеграл:

\int \frac{1 + e^{x/2}}{(1 + e^{x/4})^2} \, dx = \int \frac{1+t^2}{(1+t)^2}\cdot \frac{4\;dt}{t}

Как результат, имеем интеграл от рациональной функции, то есть задачу, с которой уже неоднократно справлялись ранее.

Для решения будем использовать метод неопределенных коэффициентов. Подынтегральная функция должна разбиться следующим образом:

\frac{4(1+t^2)}{t(1+t)^2} = \frac{A}{t}+\frac{B}{t+1}+\frac{C}{(t+1)^2}

Соответствующее уравнение для числителя запишется так:

A(t+1)^2+Bt(t+1)+Ct=4t^2+4

Приравнивая соответствующие коэффициенты, получаем:

A=4,\quad B=0,\quad C=-8

Значит, нам осталось найти только два простых интеграла. Первый:

\int \frac{4\;dt}{t}=4\ln|t|+C

И второй:

-8 \int \frac{dt}{(1+t)^2}=\frac{8}{1+t}+C

Собирая все вместе, получаем, что:

\int \frac{4(1+t^2)}{t(1+t)^2}\;dt=4\ln |t|+\frac{8}{1+t}+C

Для итогового ответа остается вернуться к переменной

x