Раздел III. Неопределённый интеграл — § 5. Интегрирование различных трансцендентных функций

Демидович — задача 2107

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы, содержащие функции ln⁡f(x)\ln f(x), arctg⁡f(x)\arctg f(x), arcsin⁡f(x)\arcsin f(x), arccos⁡f(x)\arccos f(x), где f(x)f(x) --- алгебраическая функция:

Задача 2107

∫xarcsin⁡(1−x) dx\displaystyle\int x\arcsin(1-x)\,dx.
Ответ:2x2−34arcsin⁡(1−x)−x+342x−x2+C\frac{2x^2 - 3}{4} \arcsin(1-x) - \frac{x+3}{4} \sqrt{2x-x^2} + C

Решение

Как и во многих номерах до этого, на помощь при решении приходит интегрирование по частям. Действительно, если арксинус окажется внутри дифференциала, далее мы будем работать только с корнями и многочленами, что заметно упростит нам задачу.

Начнем с того, что занесем xx под дифференциал:∫xarcsin⁡(1−x)  dx=12∫arcsin⁡(1−x)  d(x2)\int x\arcsin(1-x)\;dx = \frac{1}{2}\int \arcsin(1-x)\;d(x^2)Возьмем по частям:12x2arcsin⁡(1−x)−12∫x2  d(arcsin⁡(1−x))\frac{1}{2}x^2\arcsin(1-x) - \frac{1}{2}\int x^2 \;d(\arcsin(1-x))Раскроем дифференциал:12x2arcsin⁡(1−x)−12∫x2⋅−dx1−(1−x)2\frac{1}{2}x^2\arcsin(1-x) - \frac{1}{2}\int x^2 \cdot \frac{-dx}{\sqrt{1-(1-x)^2}}После вынесения минуса получаем:12x2arcsin⁡(1−x)+12∫x2  dx1−(1−x)2\frac{1}{2}x^2\arcsin(1-x) + \frac{1}{2}\int\frac{x^2\;dx}{\sqrt{1-(1-x)^2}}Теперь надо рассмотреть оставшийся интеграл. Для этого введем замену t=1−xt=1-x, чтобы в дроби оставалась производная от арксинуса. Получим:∫−(1−t)2  dt1−t2\int \frac{-(1-t)^2\;dt}{\sqrt{1-t^2}}Раскроем скобки в верхнем выражении:−∫(1−2t+t2)  dt1−t2=∫(−1+2t−t2)  dt1−t2-\int \frac{(1-2t+t^2)\;dt}{\sqrt{1-t^2}} = \int \frac{(-1+2t-t^2)\;dt}{\sqrt{1-t^2}}Чтобы найти уже этот интеграл, нужно разбить его на сумму нескольких. Для начала, выделим в числителе такое же выражение, как и в знаменателе под корнем, чтобы избавиться от t2t^2:∫(−1+2t−t2)  dt1−t2=∫[(1−t2)+2t−2]  dt1−t2=∫(1−t2+2t−21−t2)  dt\int \frac{(-1+2t-t^2)\;dt}{\sqrt{1-t^2}} = \int \frac{[(1-t^2)+2t-2]\;dt}{\sqrt{1-t^2}} = \int \left(\sqrt{1-t^2} + \frac{2t-2}{\sqrt{1-t^2}}\right)\;dtВ оставшейся дроби будем отделим 2t2t, так как нам будет удобно потом заносить его под дифференциал. Получаем сумму из трех интегралов:∫1−t2  dt+∫2t  dt1−t2−2∫dt1−t2\int \sqrt{1-t^2}\;dt + \int \frac{2t\;dt}{\sqrt{1-t^2}} - 2\int \frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}Будем рассматривать их по очереди. Начнем с первого.

1)Здесь нам поможет все то же интегрирование по частям, чтобы опустить корень в знаменатель:∫1−t2  dt=t1−t2−∫t  d(1−t2)=t1−t2+∫t2  dt1−t2\int \sqrt{1-t^2}\;dt = t \sqrt{1-t^2} - \int t \;d( \sqrt{1-t^2}) = t \sqrt{1-t^2} + \int \frac{t^2\;dt}{\sqrt{1-t^2}}В оставшемся интеграле выделим целую часть:∫t2  dt1−t2=−∫1−t2  dt+∫dt1−t2\int \frac{t^2\;dt}{\sqrt{1-t^2}} = -\int \sqrt{1-t^2}\;dt+\int \frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}Видим, что интеграл выразился сам через себя. Получаем:∫1−t2  dt=t1−t22+12arcsin⁡t+C\int \sqrt{1-t^2}\;dt = \frac{ t \sqrt{1-t^2}}{2} +\frac{1}{2}\arcsin t +C2) Занесем числитель под дифференциал, после чего интеграл становится совсем простым:∫t  dt1−t2=−12∫d(1−t2)1−t2=−1−t2+C\int \frac{t\;dt}{\sqrt{1-t^2}} = -\frac{1}{2}\int \frac{d(1-t^2)}{\sqrt{1-t^2}} = -\sqrt{1-t^2}+C3) Последнее слагаемое представляет собой табличный интеграл:∫dt1−t2=arcsin⁡t+C\int \frac{dt}{\sqrt{1-t^2}} = \arcsin t+CСоберем все найденные функции вместе с нужными коэффициентами, чтобы получить решение рассматриваемого промежуточного интеграла:t1−t22−321−t2−2arcsin⁡t+C\frac{t \sqrt{1-t^2}}{2} - \frac{3}{2}\sqrt{1-t^2}-2\arcsin t+CНаконец, остается вернуться к переменной xx и записать итоговый ответ. Сразу покажем его уже в упрощенной форме.
Демидович № 2107 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика