Раздел III. Неопределённый интеграл — § 5. Интегрирование различных трансцендентных функций

Демидович — задача 2104

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы, содержащие функции

\ln f(x)

\arctg f(x)

\arcsin f(x)

\arccos f(x)

, где

f(x)

--- алгебраическая функция:

Задача 2104

\displaystyle\int\frac{\ln x}{(1+x^2)^{3/2}}\,dx

Ответ:

\frac{x\ln x}{\sqrt{1+x^2}}-\ln|x+\sqrt{1+x^2}|+C

Решение

По аналогии с номером 2103 хочется применить интегрирование по частям, чтобы избавиться от логарифма. Выделим этот множитель из подынтегрального выражения:

\ln x \cdot \frac{1}{(1+x^2)^{3/2}}

Для применения интегрирования по частям, необходимо найти первообразную от второго множителя, чтобы занести его под дифференциал. Значит, на данный момент нашей первостепенной задачей является нахождение следующего интеграла:

\int \frac{dx}{(1+x^2)^{3/2}}

Для решения такого интеграла удачно подойдет замена

x=\tg t

. Действительно, снизу тогда сможем перейти к косинусу, используя формулы тригонометрии, а при вынесении производной из дифференциала также получим только выражение от косинуса:

\int \frac{d(\tg t)}{(1+\tg^2 t)^{3/2}} = \int \frac{1}{(\frac{1}{\cos^2 t})^{3/2}}\cdot \frac{dt}{\cos ^2 t} = \int \cos t dt = \sin t +C

Получаем, что:

\int \frac{dx}{(1+x^2)^{3/2}} = \sin(\arctg x)+C

Однако с этим нам будет неудобно работать в дальнейшем. Гораздо удобнее было бы для нас, если бы получилось выражение от квадратных корней и полиномов от переменной

x

, а не обратных тригонометрических функций.

Для решения этой проблемы применим следующий трюк. Мы знаем, что

x = \tg t

. В таком случае:

\sin t = \tg t\cdot \cos t = \tg t\cdot \sqrt{\frac{1}{1+\tg^2 t}} = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}

Для нас это значит, что:

\int \frac{dx}{(1+x^2)^{3/2}} = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} +C

Теперь уже можем применять интегрирование по частям:

\int \frac{\ln x}{(1+x^2)^{3/2}}\;dx = \int \ln x d\left( \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\right) = \frac{x\ln x}{\sqrt{1+x^2}} - \int \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\;d(\ln x)

Вынесем производную логарифма из дифференциала:

\frac{x\ln x}{\sqrt{1+x^2}} - \int \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\cdot \frac{dx}{x}=\frac{x\ln x}{\sqrt{1+x^2}} - \int \frac{dx}{\sqrt{1+x^2}}

Оставшийся интеграл является табличным, поэтому нам нужно лишь записать итоговый ответ.