Раздел III. Неопределённый интеграл — § 5. Интегрирование различных трансцендентных функций

Демидович — задача 2097

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

\displaystyle\int\frac{x^4e^{2x}}{(x-2)^2}\,dx

Ответ:

\dfrac{e^{2x}(2x^3+2x^2+9x-106)}{4(x-2)}+64e^4\operatorname{Ei}(2x-4)+C,\qquad x\ne2

Решение

Положим

t=x-2

. Тогда

x=t+2

I=e^4\int e^{2t}\left(t^2+8t+24+\dfrac{32}{t}+\dfrac{16}{t^2}\right)dt

Производная

\frac{e^{2t}}t

равна

\frac{2e^{2t}}t-\frac{e^{2t}}{t^2}

, поэтому

I=e^4\left(\int e^{2t}(t^2+8t+24)\,dt-\dfrac{16e^{2t}}t+64\int\dfrac{e^{2t}}t\,dt\right)

Двукратное интегрирование полиномиальной части по частям даёт

\int e^{2t}(t^2+8t+24)\,dt=e^{2t}\left(\dfrac{t^2}{2}+\dfrac{7t}{2}+\dfrac{41}{4}\right)+C

Последний интеграл не выражается через элементарные функции. Обозначим через

\operatorname{Ei}(u)

экспоненциальный интеграл, для которого

\operatorname{Ei}'(u)=\dfrac{e^u}{u}

при

u\ne0

. Тогда

\int\dfrac{e^{2t}}t\,dt=\operatorname{Ei}(2t)+C

. Таким образом,

I=\dfrac{e^{2x}(2x^3+2x^2+9x-106)}{4(x-2)}+64e^4\operatorname{Ei}(2x-4)+C

Если используется интегральный логарифм

\operatorname{li}

, то

\operatorname{Ei}(2x-4)=\operatorname{li}(e^{2x-4})

, а не

\operatorname{li}(2x-4)

. Формулы применяются отдельно при

x<2

x>2