Раздел III. Неопределённый интеграл — § 5. Интегрирование различных трансцендентных функций

Демидович — задача 2084

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

\displaystyle\int\frac{dx}{e^{2x}+e^x-2}

Ответ:

-\dfrac x2+\dfrac13\ln|e^x-1|+\dfrac16\ln(e^x+2)+C,\qquad x\ne0

Решение

Положим

t=e^x>0

. Тогда

dx=\dfrac{dt}{t}

, а знаменатель равен

(t-1)(t+2)

. Разложение на простейшие дроби имеет вид

\dfrac1{t(t-1)(t+2)}=-\dfrac1{2t}+\dfrac1{3(t-1)}+\dfrac1{6(t+2)}

После интегрирования

I=-\dfrac12\ln t+\dfrac13\ln|t-1|+\dfrac16\ln(t+2)+C

Возвращаясь к

x

, получаем

I=-\dfrac x2+\dfrac13\ln|e^x-1|+\dfrac16\ln(e^x+2)+C

Исходная функция не определена при

x=0

. На промежутках

x<0

x>0

постоянные интегрирования независимы.