Раздел III. Неопределённый интеграл — § 5. Интегрирование различных трансцендентных функций

Демидович — задача 2103

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы, содержащие функции

\ln f(x)

\arctg f(x)

\arcsin f(x)

\arccos f(x)

, где

f(x)

--- алгебраическая функция:

Задача 2103

\displaystyle\int\ln\bigl(\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}\bigr)\,dx

Ответ:

x\ln (\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}) +\frac{1}{2}\arcsin x-\frac{1}{2}x+C

Решение

В первую очередь как и в задачах до этого (например, 2098-2100), избавимся от логарифма при помощи интегрирования по частям:

\int \ln (\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x})\;dx = x\ln (\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}) - \int x\;d(\ln(\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}))

Вынесем производную из дифференциала в последнем интеграле и рассмотрим его отдельно:

\int \frac{x}{\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}} \cdot \left(\frac{-1}{2\sqrt{1-x}}+\frac{1}{2\sqrt{1+x}}\right)\;dx

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:

\frac{-1}{2\sqrt{1-x}}+\frac{1}{2\sqrt{1+x}} = \frac{\sqrt{1-x}-\sqrt{1+x}}{2\sqrt{1-x^2}}

Чтобы полностью избавиться от сумм корней в знаменателе, домножим на сопряженное выражение. Снизу сразу раскроем скобки по формуле разности квадратов:

\frac{x}{\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}}\cdot \frac{\sqrt{1-x}-\sqrt{1+x}}{2\sqrt{1-x^2}}= \frac{x(\sqrt{1-x}-\sqrt{1+x})^2}{[(1-x)-(1+x)]\cdot 2\sqrt{1-x^2}}

Раскроем квадрат сверху, а также упростим знаменатель:

\frac{x(2 -2\sqrt{1-x^2})}{-2x\cdot 2\sqrt{1-x^2}} = -\frac{1}{2}\cdot \frac{1-\sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1-x^2}}

Выделим целую часть:

-\frac{1}{2}\cdot \frac{1-\sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1-x^2}} = -\frac{1}{2}\left( \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}-1\right)

Подставим все полученное в исходный интеграл:

\int \ln (\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x})\;dx = x\ln (\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}) +\frac{1}{2}\int \left( \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}-1\right)\;dx

Осталось найти последнее слагаемое . Заметим, что оба искомых интеграла являются табличными. поэтому сразу перейдем к записи итогового ответа.