Раздел III. Неопределённый интеграл — § 5. Интегрирование различных трансцендентных функций

Демидович — задача 2082

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

\displaystyle\int\frac{dx}{(1+e^x)^2}

Ответ:

x - \ln|1+e^x|+\frac {1}{1+e^x}+C

Решение

Заметим, что если мы каким-то образом занесем под дифференциал функцию

e^x

, то задача сведется к нахождению интеграла от рациональной функцией, что мы уже неоднократно проделывали. Способов занести

e^x

несколько, мы покажем лишь один из них.

Заметим, что наше подынтегральное выражение является квадратом:

\frac{1}{(1+e^x)^2}=\frac{1}{1+e^x}\cdot \frac{1}{1+e^x}

При этом, если в числителе одного из множителей выделить целую часть, получим желанный

e^x

в числителе:

\frac{1}{1+e^x}\cdot \frac{1}{1+e^x}=\left(1-\frac{e^x}{1+e^x}\right)\frac{1}{1+e^x} = \frac{1}{1+e^x} - \frac{e^x}{(1+e^x)^2}

Теперь выделим целую часть в первом слагаемом, чтобы

e^x

тоже оказался в числителе:

\frac{1}{1+e^x} - \frac{e^x}{(1+e^x)^2} = 1 - \frac{e^x}{1+e^x} - \frac{e^x}{(1+e^x)^2}

Значит, исходный интеграл разбивается следующим образом:

\int \frac{dx}{(1+e^x)^2} = \int 1\,dx - \int \frac{e^x}{1+e^x} \, dx - \int \frac{e^x}{(1+e^x)^2}\,dx

Первый интеграл является простейшим и равняется

x

, поэтому перейдем к рассмотрению двух других. Сначала первый:

\int \frac{e^x}{1+e^x} \, dx = \int \frac{d(1+e^x)}{1+e^x} = \ln|1+e^x|+C

Теперь второй:

\int \frac{e^x}{(1+e^x)^2} \, dx = \int \frac{d(1+e^x)}{(1+e^x)^2}= -\frac {1}{1+e^x}+C

Остается собрать все вместе и записать ответ.