Раздел III. Неопределённый интеграл — § 5. Интегрирование различных трансцендентных функций

Демидович — задача 2072

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

Задача 2072

∫x7e−x2 dx\displaystyle\int x^7e^{-x^2}\,dx.
Ответ:−12e−x2(x6+3x4+6x2+6)+C-\dfrac12e^{-x^2}(x^6+3x^4+6x^2+6)+C

Решение

Положим t=x2t=x^2, тогда x7 dx=12t3 dtx^7\,dx=\frac12t^3\,dt. ПолучаемI=12∫t3e−t dtI=\dfrac12\int t^3e^{-t}\,dtИнтегрирование по частям даёт рекуррентное равенство ∫tke−t dt=−tke−t+k∫tk−1e−t dt\int t^ke^{-t}\,dt=-t^ke^{-t}+k\int t^{k-1}e^{-t}\,dt. Последовательно применяя его при k=3,2,1k=3,2,1, находим∫t3e−t dt=−e−t(t3+3t2+6t+6)+C\int t^3e^{-t}\,dt=-e^{-t}(t^3+3t^2+6t+6)+CПосле обратной подстановкиI=−12e−x2(x6+3x4+6x2+6)+CI=-\dfrac12e^{-x^2}(x^6+3x^4+6x^2+6)+C
Демидович № 2072 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика