Раздел III. Неопределённый интеграл — § 5. Интегрирование различных трансцендентных функций

Демидович — задача 2073

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

Задача 2073

\displaystyle\int x^2e^{\sqrt x}\,dx

Ответ:

2e^{\sqrt x}(x^2\sqrt x-5x^2+20x\sqrt x-60x+120\sqrt x-120)+C

Решение

Нетрудно заметить, что при замене

t=\sqrt{x}

задача сведется к нахождению интеграла от функции

P(t)e^t

, где

P(t)

-- некоторый полином. В общем виде эту задачу мы уже решили ранее в номере 2067, поэтому нам остается лишь выполнить замену и посчитать все соответствующие производные.

Начнем с замены. Если

t=\sqrt{x}

, то

x=t^2

и тогда:

x^2=t^4\quad и \quad dx=d(t^2)=2t dt

Подставив все в интеграл, получим:

\int 2t^5e^tdt=2\int t^5e^tdt

Теперь остается найти все производные от

P(t)=t^5

и подставить в формулу. В результате, получим:

2\int t^5e^tdt=2e^t(t^5-5t^4+20t^3-60t^2+120t-120)+C

Для окончательного ответа необходимо вернуться к переменной

x

с помощью равенства

t=\sqrt x