Раздел III. Неопределённый интеграл — § 5. Интегрирование различных трансцендентных функций

Демидович — задача 2113

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы, содержащие функции

\ln f(x)

\arctg f(x)

\arcsin f(x)

\arccos f(x)

, где

f(x)

--- алгебраическая функция:

Задача 2113

\displaystyle\int x\arctg x\ln(1+x^2)\,dx

Ответ:

x - \arctg x + \left( \frac{1+x^2}{2} \arctg x - \frac{x}{2} \right) \left[ \ln(1+x^2) - 1 \right] + C

Решение

В решении этого номера нам поможет формула интегрирования по частям - если от логарифма и арктангенса в конце концов останутся лишь их производные, то получим интеграл от рациональной функции, что найти уже довольно легко. С этой мотивацией, занесем

x

под дифференциал:

\int x \arctg x \ln(1+x^2) \, dx =\frac{1}{2}\int \arctg x \ln(1+x^2) \, d(x^2)

Берем интеграл по частям:

\frac{x^2}{2}\arctg x \ln(1+x^2)- \frac{1}{2}\int x^2 \;d(\arctg x \ln(1+x^2))

Отдельно распишем дифференциал:

\frac{\ln(1+x^2)}{1+x^2}\;dx+\frac{2x\;\arctg x}{1+x^2}\;dx

Подставим в интеграл, который был выше, и разобьем его на два:

\int x^2 \;d(\arctg x \ln(1+x^2)) = \int \frac{x^2\ln(1+x^2)}{1+x^2}\;dx+\int\frac{2x^3\;\arctg x}{1+x^2}\;dx

Из первого интеграла выделим целую часть:

\int \frac{x^2\ln(1+x^2)}{1+x^2}\;dx=\int \left(\ln(1+x^2)-\frac{\ln(1+x^2)}{1+x^2}\right)\;dx

Не будем пока его дорешивать и перейдем к рассмотрению второго. Там тоже надо выделить целую часть:

\int \frac{2x^3\;\arctg x}{1+x^2}\;dx = \int \left(2x\arctg x-\frac{2x\;\arctg x}{1+x^2}\right)\;dx

В последнем слагаемом угадывается дифференциал от

\ln(1+x^2)

, поэтому вновь применим интегрирование по частям:

-\int \frac{2x\;\arctg x}{1+x^2}\;dx = -\int \arctg x\;d(\ln(1+x^2)) = -\arctg x \cdot \ln(1+x^2)+ \int \frac{\ln(1+x^2)}{1+x^2}\;dx

Как видим, вылез тот же интеграл, что и был ранее оставлен нами, но с противоположным знаком. Сумма этих двух интегралов даст нам 0, что заметно упрощает задачу. В результате получаем, что:

\int \frac{x^2\ln(1+x^2)}{1+x^2}\;dx+\int\frac{2x^3\;\arctg x}{1+x^2}\;dx = \int \ln(1+x^2)\;dx +\int 2x\;\arctg x\;dx - \arctg x\cdot \ln(1+x^2)

Осталось решить два уже относительно простых интеграла. Оба они будут решаться все тем же методом интегрирования по частям:

\int \ln(1+x^2)\;dx = x\;\ln(1+x^2) - \int \frac{2x^2}{1+x^2}\;dx

Выделяем целую часть в последнем интеграле и считаем :

x\;\ln(1+x^2) -\int 2\;dx+2\int \frac{dx}{1+x^2}=x\;\ln(1+x^2) -2x+2\arctg x+C

Теперь берем по частям второй интеграл:

\int 2x\;\arctg x\;dx = \int \arctg x\;d(x^2)=x^2\arctg x-\int \frac{x^2}{1+x^2}\;dx

Последний интеграл уже был посчитан выше, поэтому можем сразу переходить к ответу:

\int 2x\;\arctg x\;dx=x^2\arctg x -x+\arctg x+C

Для записи ответа остается только собрать все, что мы посчитали, и домножить на соответствующие коэффициенты.