Раздел III. Неопределённый интеграл — § 5. Интегрирование различных трансцендентных функций

Демидович — задача 2081

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

Доказать, что если

R

--- рациональная функция и числа

a_1,a_2,\dots,a_n

соизмеримы, то интеграл

\int R(e^{a_1x},e^{a_2x},\dots,e^{a_nx})\,dx

выражается в виде элементарной функции.

Доказано:При соизмеримых

a_i

замена

t=e^{hx}

, где

a_i=m_i h

m_i\in\mathbb Z

, сводит интеграл к интегралу от рациональной функции

t

. Поэтому первообразная элементарна на каждом промежутке области определения. Если все

a_i=0

, она равна

R(1,\ldots,1)x+C

при определённом

R(1,\ldots,1)

Доказательство

Соизмеримость чисел

a_1,\ldots,a_n

означает, что при условии, что среди них есть ненулевое число, существуют

h>0

и целые

m_1,\ldots,m_n

такие, что

a_i=m_i h

. Положим

t=e^{hx}>0, \qquad dx=\dfrac{dt}{ht}

Тогда

e^{a_i x}=t^{m_i}

, и исходный интеграл принимает вид

\int R\bigl(e^{a_1x},\ldots,e^{a_nx}\bigr)\,dx =\dfrac{1}{h}\int\dfrac{R(t^{m_1},\ldots,t^{m_n})}{t}\,dt

Поскольку целые, в том числе отрицательные, степени

t

являются рациональными функциями при

t>0

, подынтегральное выражение справа рационально по

t

. Его интеграл выражается через рациональные функции, логарифмы и арктангенсы. Обратная замена

t=e^{hx}

даёт элементарную первообразную на каждом промежутке, где исходная функция определена.

Если все

a_i=0

, то подынтегральная функция равна постоянной

R(1,\ldots,1)

, если это значение определено. Её первообразная равна

R(1,\ldots,1)x+C

Что и требовалось доказать