Раздел III. Неопределённый интеграл — § 5. Интегрирование различных трансцендентных функций

Демидович — задача 2109

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы, содержащие функции

\ln f(x)

\arctg f(x)

\arcsin f(x)

\arccos f(x)

, где

f(x)

--- алгебраическая функция:

\displaystyle\int x\arccos\frac1x\,dx

Ответ:

\dfrac{x^2}{2}\arccos\dfrac1x -\dfrac{\operatorname{sgn}x}{2}\sqrt{x^2-1}+C, \qquad |x|>1

Формула непрерывно продолжается к

x=\pm1

Решение

Область определения подынтегральной функции:

|x|\geqslant1

На каждом из промежутков

(-\infty,-1)

(1,+\infty)

интегрируем по частям:

u=\arccos\dfrac1x,\qquaddv=x\,dx,\qquadv=\dfrac{x^2}{2}

Так как

du=\dfrac{dx}{|x|\sqrt{x^2-1}},

получаем

\begin{aligned}I&=\dfrac{x^2}{2}\arccos\dfrac1x-\dfrac12\int\dfrac{x^2}{|x|\sqrt{x^2-1}}\,dx=\\&=\dfrac{x^2}{2}\arccos\dfrac1x-\dfrac12\int\dfrac{|x|}{\sqrt{x^2-1}}\,dx\end{aligned}

При

x>1

последний интеграл равен

\sqrt{x^2-1}

, а при

x<-1

равен

-\sqrt{x^2-1}

. Поэтому

I=\dfrac{x^2}{2}\arccos\dfrac1x-\dfrac{\operatorname{sgn}x}{2}\sqrt{x^2-1}+C

Формула непрерывно продолжается к допустимым граничным точкам

x=\pm1