Раздел III. Неопределённый интеграл — § 5. Интегрирование различных трансцендентных функций

Демидович — задача 2077

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

Задача 2077

∫x2excos⁡x dx\displaystyle\int x^2e^x\cos x\,dx.
Ответ:12(x2exsin⁡x+x2excos⁡x−2xexsin⁡x+ex(sin⁡x−cos⁡x))+C\frac{1}{2}\left( x^2 e^x \sin x +x^2 e^x \cos x -2xe^x \sin x+ e^x(\sin x -\cos x)\right)+C

Решение

Как и в задаче 2076, применим формулу интегрирования по частям. Для нас разумнее всего будет занести под дифференциал cos⁡x\cos x, ведь в таком случае мы в дальнейшем получим интегралы, с которыми уже сталкивались ранее. Сделаем это:∫x2excos⁡x dx=∫x2ex d(sin⁡x)=x2exsin⁡x−∫sin⁡x  d(x2ex)\int x^2 e^x \cos x \, dx=\int x^2 e^x \, d(\sin x)=x^2 e^x \sin x- \int \sin x \;d(x^2e^x)Если раскрыть последний дифференциал, придем к следующему:∫x2excos⁡x dx=x2exsin⁡x−2∫xexsin⁡x  dx−∫x2exsin⁡x dx\int x^2 e^x \cos x \, dx = x^2 e^x \sin x- 2\int xe^x\sin x \;dx - \int x^2 e^x \sin x \, dxПервый интеграл мы уже решали ранее в задаче 2076, так что его находить не придется. Ко второму же применим тот же метод интегрирования по частям:∫x2exsin⁡x dx=∫x2ex d(−cos⁡x)=−x2excos⁡x+∫cos⁡x  d(x2ex)\int x^2 e^x \sin x \, dx=\int x^2 e^x \, d(-\cos x)=-x^2 e^x \cos x+ \int \cos x \;d(x^2e^x)В последнем слагаемом раскроем дифференциал:∫cos⁡x  d(x2ex)=2∫xexcos⁡x dx+∫x2excos⁡x dx\int \cos x \;d(x^2e^x) = 2\int xe^x\cos x\, dx+\int x^2 e^x \cos x \, dxОбозначим исходный интеграл за II и подставим только что полученное в уравнения, которые были выше:I=x2exsin⁡x−2∫xexsin⁡x  dx+x2excos⁡x−2∫xexcos⁡x dx−II=x^2 e^x \sin x- 2\int xe^x\sin x \;dx +x^2 e^x \cos x - 2\int xe^x\cos x\, dx-IСобирая II в одной части, получаем:I=12(x2exsin⁡x−2∫xexsin⁡x  dx+x2excos⁡x−2∫xexcos⁡x dx)I=\frac{1}{2}\left(x^2 e^x \sin x- 2\int xe^x\sin x \;dx +x^2 e^x \cos x - 2\int xe^x\cos x\, dx \right)Как было сказано выше, с первым интегралом мы уже сталкивались ранее. Остается решить второй. Вновь воспользуемся методом интегрирования по частям:∫xexcos⁡x dx=∫xex d(sin⁡x)=xexsin⁡x−∫sin⁡x  d(xex)\int xe^x\cos x\, dx = \int x e^x \, d(\sin x)=x e^x \sin x- \int \sin x \;d(xe^x)Раскроем дифференциал:∫xexcos⁡x dx=xexsin⁡x−∫exsin⁡x  dx−∫xexsin⁡x dx\int xe^x\cos x\, dx=x e^x \sin x- \int e^x\sin x \;dx - \int xe^x\sin x\,dxВновь свели все к уже известному нам интегралу. Более того, подставив полученное равенство в выражение для II, увидим, что интеграл от функции xexsin⁡xxe^x\sin x сократится. Останется только следующее:I=12(x2exsin⁡x+x2excos⁡x−2xexsin⁡x+2∫exsin⁡x dx)I=\frac{1}{2}\left( x^2 e^x \sin x +x^2 e^x \cos x -2xe^x \sin x+2\int e^x\sin x \, dx\right)Последний интеграл мы уже решали в задаче 1828. Осталось лишь подставить полученную тогда функцию, чтобы записать ответ.
Демидович № 2077 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика