Раздел III. Неопределённый интеграл — § 5. Интегрирование различных трансцендентных функций

Демидович — задача 2100

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы, содержащие функции ln⁡f(x)\ln f(x), arctg⁡f(x)\arctg f(x), arcsin⁡f(x)\arcsin f(x), arccos⁡f(x)\arccos f(x), где f(x)f(x) --- алгебраическая функция:

Задача 2100

∫(ln⁡xx)3 dx\displaystyle\int\left(\frac{\ln x}x\right)^3\,dx.
Ответ:−ln⁡3x2x2−3ln⁡2x4x2−3ln⁡x4x2−38x2+C-\frac{\ln^3 x}{2x^2} -\frac{3\ln^2 x}{4x^2}-\frac{3\ln x}{4x^2}-\frac{3}{8x^2}+C

Решение

Как и в номерах 2098 и 2099 будем использовать интегрирование по частям, чтобы понижать степень у логарифма:∫ln⁡3xx3  dx=−12∫ln⁡3x  d(1x2)=−ln⁡3x2x2+∫12x2⋅3ln⁡2xx  dx\int \frac{\ln^3 x}{x^3}\;dx = -\frac{1}{2}\int\ln^3 x\;d\left(\frac{1}{x^2}\right) = -\frac{\ln^3 x}{2x^2}+\int \frac{1}{2x^2}\cdot \frac{3\ln^2 x}{x}\;dxПосле сокращений в последнем интеграла, повторяем процедуру интегрирования по частям:∫ln⁡2xx3  dx=−12∫ln⁡2x  d(1x2)=−ln⁡2x2x2+∫12x2⋅2ln⁡xx  dx\int \frac{\ln ^2x}{x^3}\;dx =-\frac{1}{2}\int\ln^2 x\;d\left(\frac{1}{x^2}\right) = -\frac{\ln^2 x}{2x^2}+\int \frac{1}{2x^2}\cdot \frac{2\ln x}{x}\;dxИ финальный раз:∫ln⁡xx3  dx=−12∫ln⁡x  d(1x2)=−ln⁡x2x2+∫12x2⋅dxx=−ln⁡x2x2−14x2+C\int \frac{\ln x}{x^3}\;dx =-\frac{1}{2}\int\ln x\;d\left(\frac{1}{x^2}\right) = -\frac{\ln x}{2x^2}+\int \frac{1}{2x^2}\cdot \frac{dx}{x}=-\frac{\ln x}{2x^2}-\frac{1}{4x^2}+CСоберем все вместе:−ln⁡3x2x2+32(−ln⁡2x2x2−ln⁡x2x2−14x2)+C-\frac{\ln^3 x}{2x^2} +\frac{3}{2}\left(-\frac{\ln^2 x}{2x^2}-\frac{\ln x}{2x^2}-\frac{1}{4x^2}\right)+CОстается раскрыть скобки и записать ответ.
Демидович № 2100 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика