Раздел III. Неопределённый интеграл — § 5. Интегрирование различных трансцендентных функций

Демидович — задача 2075

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

Задача 2075

\displaystyle\int e^{ax}\sin^3bx\,dx

Ответ:Если

a=b=0

C

Если

a^2+b^2\ne 0

\frac{3}{4}\cdot \dfrac{e^{ax}}{a^2+b^2} (a\sin bx-b\cos bx) - \frac{1}{4}\cdot \dfrac{e^{ax}}{a^2+9b^2} (a\sin 3bx-3b\cos 3bx)+C

Решение

В первую очередь надо сказать, что если

b=0

, то все выражение под знаком интеграла будет тождественно равно 0 и в таком случае:

\int 0\;dx = 0\cdot x+C =C

Поэтому далее считаем

b\ne 0

.

Для решения оставшихся случаем предлагается использовать тот же метод, что и в номере 2074, а именно - с помощью формул тригонометрии понизить степень, и свести задачу к решенной ранее. В нашем случае подходящей формулой будет синус тройного угла:

\sin 3x= 3\sin x- 4\sin^3x

Из нее мы легко выразим синус в кубе:

\sin ^3 x= \frac{3}{4}\sin x - \frac{1}{4}\sin 3x

Учтем коэффициент

b

в аргументе и подставим в исходный интеграл:

\int e^{ax} \sin^3 bx \, dx=\int e^{ax}\left( \frac{3}{4}\sin bx - \frac{1}{4}\sin 3bx\right)dx= \frac{3}{4}\int e^{ax}\sin bx\; dx - \frac{1}{4}\int e^{ax}\sin 3bx\; dx

В общем виде такие интегралы были решены в номере 1829, поэтому нам остается лишь воспользоваться полученными ранее формулами:

\int e^{ax} \sin^3 bx \, dx = \frac{3}{4}\cdot \dfrac{e^{ax}}{a^2+b^2} (a\sin bx-b\cos bx) - \frac{1}{4}\cdot \dfrac{e^{ax}}{a^2+9b^2} (a\sin 3bx-3b\cos 3bx)+C