Раздел III. Неопределённый интеграл — § 5. Интегрирование различных трансцендентных функций

Демидович — задача 2074

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

\displaystyle\int e^{ax}\cos^2bx\,dx

Ответ:

\begin{cases}\dfrac{e^{ax}}{2a}+\dfrac{e^{ax}(a\cos2bx+2b\sin2bx)}{2(a^2+4b^2)}+C,&a\ne0\\[8pt]\dfrac x2+\dfrac{\sin2bx}{4b}+C,&a=0,\ b\ne0\\[8pt]x+C,&a=b=0\end{cases}

Решение

Используем формулу понижения степени

\cos^2bx=\frac12(1+\cos2bx)

. При

a\ne0

получаем

I=\dfrac{e^{ax}}{2a}+\dfrac12J,\qquad J=\int e^{ax}\cos2bx\,dx

Для вычисления

J

ищем первообразную

e^{ax}(A\cos2bx+B\sin2bx)

. Сравнение её производной с подынтегральной функцией даёт

aA+2bB=1,\qquad aB-2bA=0

Отсюда

A=\dfrac a{a^2+4b^2}

B=\dfrac{2b}{a^2+4b^2}

, и

I=\dfrac{e^{ax}}{2a}+\dfrac{e^{ax}(a\cos2bx+2b\sin2bx)}{2(a^2+4b^2)}+C

Если

a=0

b\ne0

, та же формула понижения степени даёт

I=\frac x2+\frac{\sin2bx}{4b}+C

. Если

a=b=0

, подынтегральная функция равна единице, поэтому

I=x+C