Раздел III. Неопределённый интеграл — § 5. Интегрирование различных трансцендентных функций

Демидович — задача 2085

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

Задача 2085

∫dx1+ex/2+ex/3+ex/6\displaystyle\int\frac{dx}{1+e^{x/2}+e^{x/3}+e^{x/6}}.
Ответ:x−3ln⁡∣ex6+1∣−32ln⁡∣ex3+1∣−3arctg⁡ex6+Cx-3\ln\left|e^{\frac{x}{6}}+1\right|-\frac{3}{2}\ln\left|e^{\frac{x}{3}}+1\right|-3\arctg e^{\frac{x}{6}}+C

Решение

В первую очередь обратим внимание на показатели степеней у слагаемых в знаменателе. Нетрудно видеть, что все они кратны 16\frac{1}{6}:12=3⋅16и13=2⋅16\frac{1}{2}=3\cdot \frac{1}{6}\quad\text{и}\quad \frac{1}{3}=2\cdot \frac{1}{6}С учетом этого, получаем, что в знаменателе на самом деле находится многочлен от ex6e^{\frac{x}{6}}:∫dx1+ex6+(ex6)2+(ex6)3\int \frac{dx}{1+e^{\frac{x}{6}}+(e^{\frac{x}{6}})^2+(e^{\frac{x}{6}})^3}Логично ввести новую переменную t=ex6t=e^{\frac{x}{6}}. Тогда:x=6ln⁡tdx=d(6ln⁡t)=6  dttx=6\ln t\quad dx=d(6\ln t)=\frac{6\;dt}{t}Подставим все в наш исходный интеграл и увидим, что задача свелась к нахождению первообразной рациональной функции:∫6  dtt(1+t+t2+t3)\int \frac{6\;dt}{t(1+t+t^2+t^3)}Задачи такого вида неоднократно решали ранее. Напомним, что основным способом решения таких интегралов является метод неопределенных коэффициентов. Для этого необходимо сначала разложить знаменатель на неприводимые множители. Займемся этим.

Нетрудно заметить, что t=−1t=-1 является корнем многочлена из знаменателя. Значит, можно выделить множитель t+1t+1:t(1+t+t2+t3)=t(t+1)(t2+1)t(1+t+t^2+t^3)=t(t+1)(t^2+1)Полином t2+1t^2+1 является неприводимым.
Значит, наш интеграл разбивается на следующие слагаемые:∫6  dtt(1+t+t2+t3)=∫A  dtt+∫B  dtt+1+∫Ct+Dt2+1  dt\int \frac{6\;dt}{t(1+t+t^2+t^3)} = \int \frac{A\;dt}{t}+\int \frac{B\;dt}{t+1}+\int \frac{Ct+D}{t^2+1}\;dtЗапишем соответствующее равенство для неопределенных коэффициентов:A(t+1)(t2+1)+Bt(t2+1)+(Ct+D)t(t+1)=6A(t+1)(t^2+1) + Bt(t^2+1)+(Ct+D)t(t+1)=6Приравнивая коэффициенты при соответствующих степенях, получаем:A=6иB=C=D=−3A= 6\quad\text{и}\quad B=C=D=-3Осталось найти каждое из слагаемых, которые входят в наш интеграл. Начнем с первого:∫6  dtt=6ln⁡∣t∣+C\int \frac{6\;dt}{t} = 6\ln|t|+CПереходим ко второму интегралу:−∫3  dtt+1=−3ln⁡∣t+1∣+C-\int \frac{3\;dt}{t+1} = -3\ln|t+1|+CОсталось последнее слагаемое. Выпишем его:−3∫t+1t2+1dt-3\int\frac{t+1}{t^2+1}dtДля решения таких интегралов необходимо в числителе выделить производную от знаменателя, чтобы далее занести под дифференциал. Оставшаяся часть сводится к производной арктангенса. Выполним снизу оба действия сразу:−3∫t+1t2+1dt=−32∫2t  dtt2+1−3∫dtt2+1==−32∫d(t2+1)t2+1−3∫dtt2+1=−32ln⁡∣t2+1∣−3arctg⁡t+C\begin{aligned}
-3\int\frac{t+1}{t^2+1}dt = -\frac{3}{2}\int \frac{2t\;dt}{t^2+1}-3\int\frac{dt}{t^2+1}= \\
\\
=-\frac{3}{2}\int \frac{d(t^2+1)}{t^2+1}-3\int \frac{dt}{t^2+1} = -\frac{3}{2}\ln|t^2+1|-3\arctg t+C
\end{aligned}Сложив все найденные функции, получим искомую первообразную для функции от tt:∫6  dtt(1+t+t2+t3)=6ln⁡∣t∣−3ln⁡∣t+1∣−32ln⁡∣t2+1∣−3arctg⁡t+C\int \frac{6\;dt}{t(1+t+t^2+t^3)} = 6\ln|t|-3\ln|t+1|-\frac{3}{2}\ln|t^2+1|-3\arctg t+CДля окончательного ответа нужно вернуться к переменной xx, воспользовавшись равенством t=ex6.Заметим,чтоприэтомполучитсяизбавитьсяотпервогологарифмаt=e^{\frac{x}{6}}. Заметим, что при этом получится избавиться от первого логарифма.
Демидович № 2085 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика