Раздел III. Неопределённый интеграл — § 5. Интегрирование различных трансцендентных функций

Демидович — задача 2112

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы, содержащие функции

\ln f(x)

\arctg f(x)

\arcsin f(x)

\arccos f(x)

, где

f(x)

--- алгебраическая функция:

Задача 2112

\displaystyle\int\frac{x\arccos x}{(1-x^2)^{3/2}}\,dx

Ответ:

\frac{\arccos x}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{1}{2}\ln \frac{1+x}{1-x}+C

Решение

Как и в задаче 2112, нужно разбить функцию так, чтобы применить интегрирование по частям. Тогда мы избавимся от арккосинуса и получим интеграл от рациональной функции.

Получается, что нам требуется внести выражение

\frac{x}{(1-x^2)^{3/2}}

под дифференциал. Другими словами, нам нужно найти интеграл:

\int \frac{x}{(1-x^2)^{3/2}}\;dx

Сделать это не составляет особого труда, если занести

x

под дифференциал:

\int \frac{x}{(1-x^2)^{3/2}}\;dx = -\frac{1}{2}\int \frac{d(1-x^2)}{(1-x^2)^{3/2}} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}+C

Значит:

\frac{x}{(1-x^2)^{3/2}}\;dx = d\left(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right)

С учетом всего этого, сначала подготовим интеграл:

\int \frac{x \arccos x}{(1-x^2)^{3/2}} \, dx = \int \arccos x \;d\left(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right)

А теперь возьмем его по частям:

\frac{\arccos x}{\sqrt{1-x^2}} - \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\;d(\arccos x) = \frac{\arccos x}{\sqrt{1-x^2}} +\int \frac{dx}{1-x^2}

Последнее слагаемое является табличным интегралом:

\int \frac{dx}{1-x^2}= \frac{1}{2}\ln \frac{1+x}{1-x}+C

Подставив это в равенство выше, получим итоговый результат.