Раздел III. Неопределённый интеграл — § 5. Интегрирование различных трансцендентных функций

Демидович — задача 2098

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы, содержащие функции ln⁡f(x)\ln f(x), arctg⁡f(x)\arctg f(x), arcsin⁡f(x)\arcsin f(x), arccos⁡f(x)\arccos f(x), где f(x)f(x) --- алгебраическая функция:

Задача 2098

∫ln⁡nx dx\displaystyle\int\ln^nx\,dx (nn --- натуральное число).
Ответ:x(ln⁡nx−nln⁡n−1x+n(n−1)ln⁡n−2x−…+(−1)nn!)+Cx(\ln^nx-n\ln^{n-1}x+n(n-1)\ln^{n-2}x-\ldots +(-1)^nn!)+Cx>0x>0.

Решение

Подынтегральная функция определена при x>0x>0. Решение интеграла легко получается при многократном применении формулы интегрирования по частям. Действительно, при таких действиях степень интеграла будет понижаться при вынесении из дифференциала. При этом переменная xx будет сокращаться с производной от логарифма. Покажем это:∫ln⁡nx  dx=xln⁡nx−∫x  d(ln⁡nx)=xln⁡nx−∫x⋅nln⁡n−1xx  dx\int \ln^nx\;dx = x\ln^n x-\int x\;d(\ln^n x)= x\ln^n x-\int x\cdot \frac{n\ln^{n-1} x}{x}\;dxСократим и получим:xln⁡nx−n∫ln⁡n−1x  dxx\ln ^n x-n\int \ln^{n-1}x\;dxДля получения ответа остается проделать туже самую операцию еще n−1n-1 раз. Как нетрудно заметить, будем иметь чередующиеся знаки. В результате получаем ответ.
Демидович № 2098 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика