Раздел III. Неопределённый интеграл — § 5. Интегрирование различных трансцендентных функций

Демидович — задача 2092

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

Задача 2092

В каком случае интеграл∫P(1x)ex dx,\int P\left(\frac1x\right)e^x\,dx,где P(1x)=a0+a1x+⋯+anxn\displaystyle P\left(\frac1x\right)=a_0+\frac{a_1}x+\dots+\frac{a_n}{x^n} и a0,a1,…,ana_0,a_1,\dots,a_n постоянны, представляет собой элементарную функцию?
Ответ:При n⩾1n\geqslant1 интеграл представляет собой элементарную функцию тогда и только тогда, когда∑k=1nak(k−1)!=a1+a2+a32!+⋯+an(n−1)!=0\sum_{k=1}^{n}\dfrac{a_k}{(k-1)!}
=a_1+a_2+\dfrac{a_3}{2!}+\cdots
+\dfrac{a_n}{(n-1)!}=0В развёрнутой записи берутся только слагаемые с коэффициентами от a1a_1 до ana_n. Критерий рассматривается на промежутках x<0x<0 и x>0x>0. Для постоянного многочлена, когда n=0n=0, сумма пуста и равна нулю: первообразная равна a0ex+Ca_0e^x+C.

Решение

Вычисления проводим на промежутках x<0x<0 и x>0x>0, на которых P(1x)P\left(\dfrac{1}{x}\right) определена. Если PP — постоянный многочлен, то при n=0n=0 первообразная равна a0ex+Ca_0e^x+C, а сумма в критерии пуста и равна нулю. Далее считаем n⩾1n\geqslant1. На промежуточных шагах рассматриваем фиксированные первообразные и не записываем произвольные постоянные. ОбозначимJk=∫exxk dx,k⩾1J_k=\int\dfrac{e^x}{x^k}\,dx,
\qquad k\geqslant1Имеем J1=li⁡(ex)J_1=\operatorname{li}(e^x). При k⩾2k\geqslant2 из равенстваddx(exxk−1)=exxk−1−(k−1)exxk\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{e^x}{x^{k-1}}\right)
=\dfrac{e^x}{x^{k-1}}-\dfrac{(k-1)e^x}{x^k}получаем рекуррентную формулуJk=1k−1Jk−1−ex(k−1)xk−1J_k=\dfrac{1}{k-1}J_{k-1}
-\dfrac{e^x}{(k-1)x^{k-1}}Запишем многочлен и результат подстановки:P(t)=a0+∑k=1naktk,P(1x)=a0+∑k=1nakxkP(t)=a_0+\sum_{k=1}^{n}a_kt^k,
\qquad
P\left(\dfrac{1}{x}\right)
=a_0+\sum_{k=1}^{n}\dfrac{a_k}{x^k}Таким образом, коэффициент aka_k умножается на интеграл JkJ_k, а постоянный член даёт a0exa_0e^x:∫P(1x)ex dx=a0ex+∑k=1nakJk\int P\left(\dfrac{1}{x}\right)e^x\,dx
=a_0e^x+\sum_{k=1}^{n}a_kJ_kОбозначим через ckc_k коэффициент при J1J_1 в выражении для JkJ_k. Из рекуррентной формулы следуетc1=1,ck=ck−1k−1c_1=1,
\qquad
c_k=\dfrac{c_{k-1}}{k-1}По индукции получаемck=1(k−1)!c_k=\dfrac{1}{(k-1)!}Следовательно,∫P(1x)ex dx=(a1+a2+a32!+⋯+an(n−1)!)li⁡(ex)+элементарная функция\begin{aligned}
\int P\left(\dfrac{1}{x}\right)e^x\,dx
&=\left(
a_1+a_2+\dfrac{a_3}{2!}+\cdots
+\dfrac{a_n}{(n-1)!}
\right)\operatorname{li}(e^x)\\
&\quad+\text{элементарная функция}
\end{aligned}Покажем, что li⁡(ex)\operatorname{li}(e^x) не является элементарной. Если бы она была элементарной функцией xx, то после элементарной подстановки x=ln⁡zx=\ln z функцияli⁡(z)=li⁡(eln⁡z)\operatorname{li}(z)
=\operatorname{li}\bigl(e^{\ln z}\bigr)также была бы элементарной. Это противоречит указанному перед задачей свойству li⁡\operatorname{li}.

Если коэффициентc=∑k=1nak(k−1)!c=\sum_{k=1}^{n}\dfrac{a_k}{(k-1)!}равен нулю, неэлементарное слагаемое исчезает, поэтому условие достаточно. Если c≠0c\ne0 и исходный интеграл был бы элементарным, то после вычитания его элементарной части и деления на cc функция li⁡(ex)\operatorname{li}(e^x) также оказалась бы элементарной, что невозможно. Следовательно, условие является и необходимым.
Демидович № 2092 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика